טריגונומטריה — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $0$ — הזווית $0^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(0^\circ) = 0$.
2. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הזווית $30^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. $1$ — הזווית $45^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(45^\circ) = 1$.
4. $1$ — הזווית $90^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(90^\circ) = 1$.
5. $-\sqrt{3}$ — הזווית $120^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$.
6. $\frac{1}{2}$ — הזווית $150^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$.
7. $-1$ — הזווית $180^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(180^\circ) = -1$.
8. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ — הזווית $210^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\tan(210^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
9. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הזווית $240^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
10. $0$ — הזווית $270^\circ$ נמצאת על מעגל היחידה, ולכן $\cos(270^\circ) = 0$.
11. $\frac{4}{5}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע הראשון הקוסינוס חיובי, ולכן $\cos x = \frac{4}{5}$.
12. $-\frac{5}{13}$ — לפי הזהות $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ מקבלים $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}$. ברביע השני הקוסינוס שלילי, ולכן $\cos x = -\frac{5}{13}$.
13. $\frac{3}{4}$ — לפי ההגדרה $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$.
14. $-\frac{12}{5}$ — לפי ההגדרה $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5}$.
15. $1$ — לפי הזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות, הביטוי $\sin^2 x + \cos^2 x$ שווה ל-$1$.
16. $1$ — לפי הזהויות הטריגונומטריות הבסיסיות, הביטוי $\sin^2 x + \cos^2 x + \tan^2 x \cdot 0$ שווה ל-$1$.
17. $\frac{24}{25}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$.
18. $\frac{120}{169}$ — לפי זהות הזווית הכפולה $\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2\cdot \frac{5}{13}\cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{169}$.
19. $1$ — מחשבים את הזווית שבסוגריים ואז את הערך: $\sin 90^\circ = 1$.
20. $\frac{1}{2}$ — מחשבים את הזווית שבסוגריים ואז את הערך: $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$.
21. $\sin 2x$ — לפי נוסחאות הסכום, ההפרש והזווית הכפולה, הביטוי שווה ל-$\sin 2x$.
22. $\sin a\cos b + \cos a\sin b$ — לפי נוסחאות הסכום, ההפרש והזווית הכפולה, הביטוי שווה ל-$\sin a\cos b + \cos a\sin b$.
23. $x=30^\circ,\ 150^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $30^\circ$ ו-$150^\circ$, כלומר $x=30^\circ,\ 150^\circ$.
24. $x=45^\circ,\ 135^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $45^\circ$ ו-$135^\circ$, כלומר $x=45^\circ,\ 135^\circ$.
25. $x=90^\circ,\ 270^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $90^\circ$ ו-$270^\circ$, כלומר $x=90^\circ,\ 270^\circ$.
26. $x=180^\circ$ — הפתרונות בתחום $0^\circ \le x < 360^\circ$ הם $180^\circ$ בלבד, כלומר $x=180^\circ$.
27. $x=135^\circ,\ 315^\circ$ — לטנגנס מחזור של $180^\circ$, ולכן הפתרונות הם $135^\circ$ ו-$315^\circ$, כלומר $x=135^\circ,\ 315^\circ$.
28. $x = 90^\circ + 180^\circ k$ — $\cos x = 0$ ב-$90^\circ$ ו-$270^\circ$, כלומר $x=90^\circ+180^\circ k$. (כאשר $k$ מספר שלם).
29. $x = 90^\circ + 360^\circ k$ — $\sin x = 1$ רק ב-$90^\circ$ (עד כדי סיבוב מלא), כלומר $x=90^\circ+360^\circ k$. (כאשר $k$ מספר שלם).
30. $5$ — לפי חוק הקוסינוסים $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 9 + 16 - 2\cdot3\cdot4\cdot(0)$, ולכן $c = 5$.
31. $\sqrt{7}$ — לפי חוק הקוסינוסים $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 4 + 9 - 2\cdot2\cdot3\cdot(\frac12)$, ולכן $c = \sqrt{7}$.
32. $4\sqrt{3}$ — לפי חוק הסינוסים $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$, ולכן $b = \frac{a\sin B}{\sin A} = \frac{12\cdot\sin 30^\circ}{\sin 60^\circ} = 4\sqrt{3}$.
33. $120^\circ$ — לפי חוק הקוסינוסים $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{49+64-169}{2\cdot7\cdot8} = -\frac12$, ולכן $A = 120^\circ$.
34. $10$ — שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\frac12 = 10$.
35. $15$ — שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot6\cdot10\cdot\frac12 = 15$.
36. $3$ — באמפליטודה של $y=A\sin x$ הערך הוא $|A|$, כאן $3$.
37. $120^\circ$ — מחזור $=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.
38. $-2$ — מינימום של $\cos x$ הוא $-1$, ולכן $2\cos x$ מגיע ל-$-2$.
39. $90^\circ$ — מחזור $=\frac{360^\circ}{4}=90^\circ$.
40. $90^\circ$ — מחזור הטנגנס הוא $180^\circ$, וב-$\tan 2x$ הוא $\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$.