הסתברות — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $\frac{1}{9}$ — מספר הזוגות שסכומם 5 הוא 4 מתוך 36 אפשרויות שוות הסתברות, ולכן ההסתברות היא $\frac{1}{9}$.
2. $\frac{1}{9}$ — מספר הזוגות שסכומם 9 הוא 4 מתוך 36 אפשרויות שוות הסתברות, ולכן ההסתברות היא $\frac{1}{9}$.
3. $\frac{1}{6}$ — קיימות 1 תוצאות מתאימות (1) מתוך 6, ולכן ההסתברות $\frac{1}{6}$.
4. $\frac{5}{6}$ — קיימות 5 תוצאות מתאימות (1, 2, 3, 4, 5) מתוך 6, ולכן ההסתברות $\frac{5}{6}$.
5. $\frac{1}{10}$ — הסתברות שהראשון אדום $\frac{2}{5}$ ואז השני אדום $\frac{1}{4}$. המכפלה היא $\frac{1}{10}$.
6. $\frac{1}{21}$ — הסתברות שהראשון אדום $\frac{2}{7}$ ואז השני אדום $\frac{1}{6}$. המכפלה היא $\frac{1}{21}$.
7. $\frac{1}{5}$ — הסתברות שהראשון אדום $\frac{1}{2}$ ואז השני אדום $\frac{2}{5}$. המכפלה היא $\frac{1}{5}$.
8. $\frac{3}{28}$ — הסתברות שהראשון אדום $\frac{3}{8}$ ואז השני אדום $\frac{2}{7}$. המכפלה היא $\frac{3}{28}$.
9. $\frac{2}{7}$ — הסתברות שהראשון אדום $\frac{4}{7}$ ואז השני אדום $\frac{1}{2}$. המכפלה היא $\frac{2}{7}$.
10. $\frac{1}{6}$ — הסתברות שהראשון אדום $\frac{4}{9}$ ואז השני אדום $\frac{3}{8}$. המכפלה היא $\frac{1}{6}$.
11. $\frac{5}{14}$ — הסתברות שהראשון אדום $\frac{5}{8}$ ואז השני אדום $\frac{4}{7}$. המכפלה היא $\frac{5}{14}$.
12. $\frac{2}{9}$ — הסתברות שהראשון אדום $\frac{1}{2}$ ואז השני אדום $\frac{4}{9}$. המכפלה היא $\frac{2}{9}$.
13. $\frac{5}{12}$ — הסתברות שהראשון אדום $\frac{2}{3}$ ואז השני אדום $\frac{5}{8}$. המכפלה היא $\frac{5}{12}$.
14. $\frac{3}{11}$ — הסתברות שהראשון אדום $\frac{6}{11}$ ואז השני אדום $\frac{1}{2}$. המכפלה היא $\frac{3}{11}$.
15. $720$ — סידור 6 עצמים שונים בשורה הוא תמורה: $6! = 720$.
16. $6$ — בחירת 2 מתוך 4 ללא סדר היא צירוף: $\binom{4}{2} = 6$.
17. $5$ — בחירת 4 מתוך 5 ללא סדר היא צירוף: $\binom{5}{4} = 5$.
18. $6$ — בחירת 5 מתוך 6 ללא סדר היא צירוף: $\binom{6}{5} = 6$.
19. $21$ — בחירת 5 מתוך 7 ללא סדר היא צירוף: $\binom{7}{5} = 21$.
20. $70$ — בחירת 4 מתוך 8 ללא סדר היא צירוף: $\binom{8}{4} = 70$.
21. $36$ — בחירת 2 מתוך 9 ללא סדר היא צירוף: $\binom{9}{2} = 36$.
22. $84$ — בחירת 6 מתוך 9 ללא סדר היא צירוף: $\binom{9}{6} = 84$.
23. $\frac{3}{8}$ — לפי ההתפלגות הבינומית: $\binom{3}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{3}{8}$.
24. $\frac{1}{4}$ — לפי ההתפלגות הבינומית: $\binom{4}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{4}$.
25. $\frac{1}{32}$ — לפי ההתפלגות הבינומית: $\binom{5}{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{32}$.
26. $\frac{5}{32}$ — לפי ההתפלגות הבינומית: $\binom{5}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{5}{32}$.
27. $\frac{15}{64}$ — לפי ההתפלגות הבינומית: $\binom{6}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = \frac{15}{64}$.
28. $\frac{1}{64}$ — לפי ההתפלגות הבינומית: $\binom{6}{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = \frac{1}{64}$.
29. $\frac{3}{5}$ — הסתברות מותנית: מספר הספורטאים הבריאים חלקי כלל הספורטאים, כלומר $\frac{18}{30} = \frac{3}{5}$.
30. $\frac{9}{10}$ — הסתברות מותנית: מספר הספורטאים הבריאים חלקי כלל הספורטאים, כלומר $\frac{45}{50} = \frac{9}{10}$.
31. $\frac{2}{3}$ — $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B) = \frac{2}{3}$.
32. $\frac{7}{10}$ — $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B) = \frac{7}{10}$.
33. $\frac{11}{20}$ — $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B) = \frac{11}{20}$.
34. $\frac{7}{10}$ — $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B) = \frac{7}{10}$.
35. $\frac{91}{216}$ — "לפחות פעם אחת" שווה ל-1 פחות ההסתברות שאף פעם לא מתקבלת התוצאה. ההסתברות לא לקבל 2 בכל הטלה היא $\frac{5}{6}$, ולכן $1-\left(\frac{5}{6}\right)^{3} = \frac{91}{216}$.
36. $\frac{671}{1296}$ — "לפחות פעם אחת" שווה ל-1 פחות ההסתברות שאף פעם לא מתקבלת התוצאה. ההסתברות לא לקבל 3 בכל הטלה היא $\frac{5}{6}$, ולכן $1-\left(\frac{5}{6}\right)^{4} = \frac{671}{1296}$.
37. $\frac{11}{36}$ — "לפחות פעם אחת" שווה ל-1 פחות ההסתברות שאף פעם לא מתקבלת התוצאה. ההסתברות לא לקבל 5 בכל הטלה היא $\frac{5}{6}$, ולכן $1-\left(\frac{5}{6}\right)^{2} = \frac{11}{36}$.
38. $\frac{91}{216}$ — "לפחות פעם אחת" שווה ל-1 פחות ההסתברות שאף פעם לא מתקבלת התוצאה. ההסתברות לא לקבל 6 בכל הטלה היא $\frac{5}{6}$, ולכן $1-\left(\frac{5}{6}\right)^{3} = \frac{91}{216}$.
39. $\frac{2}{7}$ — יש 2 כדורים אדומים מתוך 7, ולכן ההסתברות $\frac{2}{7}$.
40. $\frac{3}{8}$ — יש 3 כדורים אדומים מתוך 8, ולכן ההסתברות $\frac{3}{8}$.