חזקות — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $x^{5}$ — לפי חוק מכפלת חזקות בעלות בסיס שווה מחברים מעריכים: $x^{4} \cdot x^{1} = x^{4+1} = x^{5}$.
2. $x^{7}$ — לפי חוק מכפלת חזקות בעלות בסיס שווה מחברים מעריכים: $x^{2} \cdot x^{5} = x^{2+5} = x^{7}$.
3. $x^{10}$ — לפי חוק מכפלת חזקות בעלות בסיס שווה מחברים מעריכים: $x^{5} \cdot x^{5} = x^{5+5} = x^{10}$.
4. $x^{8}$ — לפי חוק מכפלת חזקות בעלות בסיס שווה מחברים מעריכים: $x^{3} \cdot x^{5} = x^{3+5} = x^{8}$.
5. $x^{10}$ — לפי חוק מכפלת חזקות בעלות בסיס שווה מחברים מעריכים: $x^{8} \cdot x^{2} = x^{8+2} = x^{10}$.
6. $x^{6}$ — בחילוק חזקות בעלות בסיס שווה מחסירים מעריכים: $\frac{x^{8}}{x^{2}} = x^{8-2} = x^{6}$.
7. $x^{7}$ — בחילוק חזקות בעלות בסיס שווה מחסירים מעריכים: $\frac{x^{10}}{x^{3}} = x^{10-3} = x^{7}$.
8. $x^{2}$ — בחילוק חזקות בעלות בסיס שווה מחסירים מעריכים: $\frac{x^{6}}{x^{4}} = x^{6-4} = x^{2}$.
9. $x^{3}$ — בחילוק חזקות בעלות בסיס שווה מחסירים מעריכים: $\frac{x^{7}}{x^{4}} = x^{7-4} = x^{3}$.
10. $x^{8}$ — בחזקה של חזקה כופלים מעריכים: $(x^{4})^{2} = x^{4 \cdot 2} = x^{8}$.
11. $x^{8}$ — בחזקה של חזקה כופלים מעריכים: $(x^{2})^{4} = x^{2 \cdot 4} = x^{8}$.
12. $x^{12}$ — בחזקה של חזקה כופלים מעריכים: $(x^{2})^{6} = x^{2 \cdot 6} = x^{12}$.
13. $x^{15}$ — בחזקה של חזקה כופלים מעריכים: $(x^{3})^{5} = x^{3 \cdot 5} = x^{15}$.
14. $16$ — $2^{4} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 16$.
15. $27$ — $3^{3} = 3\cdot 3\cdot 3 = 27$.
16. $125$ — $5^{3} = 5\cdot 5\cdot 5 = 125$.
17. $\frac{1}{2}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-1} = \frac{1}{2^{1}} = \frac{1}{2}$.
18. $\frac{1}{8}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$.
19. $\frac{1}{16}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-4} = \frac{1}{2^{4}} = \frac{1}{16}$.
20. $4$ — $\sqrt{16}$ הוא המספר שבחזקת $2$ נותן $16$: כי $4^{2} = 16$, ולכן $\sqrt{16} = 4$.
21. $8$ — $\sqrt{64}$ הוא המספר שבחזקת $2$ נותן $64$: כי $8^{2} = 64$, ולכן $\sqrt{64} = 8$.
22. $2$ — $\sqrt[3]{8}$ הוא המספר שבחזקת $3$ נותן $8$: כי $2^{3} = 8$, ולכן $\sqrt[3]{8} = 2$.
23. $10$ — $\sqrt[3]{1000}$ הוא המספר שבחזקת $3$ נותן $1000$: כי $10^{3} = 1000$, ולכן $\sqrt[3]{1000} = 10$.
24. $7$ — $\sqrt[3]{343}$ הוא המספר שבחזקת $3$ נותן $343$: כי $7^{3} = 343$, ולכן $\sqrt[3]{343} = 7$.
25. $4$ — מעריך רציונלי: $16^{\frac{1}{2}} = \left(\sqrt[2]{16}\right)^{1} = 4$.
26. $8$ — מעריך רציונלי: $4^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt[2]{4}\right)^{3} = 8$.
27. $4$ — מעריך רציונלי: $64^{\frac{1}{3}} = \left(\sqrt[3]{64}\right)^{1} = 4$.
28. $10$ — מעריך רציונלי: $1000^{\frac{1}{3}} = \left(\sqrt[3]{1000}\right)^{1} = 10$.
29. $2$ — $\log_{3} 9 = 2$ כי $3^{2} = 9$.
30. $3$ — $\log_{5} 125 = 3$ כי $5^{3} = 125$.
31. $6$ — $\log_{2} 64 = 6$ כי $2^{6} = 64$.
32. $5$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים: $\log_{2} 4 + \log_{2} 8 = \log_{2} (4\cdot 8) = \log_{2} 32 = 5$.
33. $5$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים: $\log_{2} 16 + \log_{2} 2 = \log_{2} (16\cdot 2) = \log_{2} 32 = 5$.
34. $3$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים: $\log_{4} 16 + \log_{4} 4 = \log_{4} (16\cdot 4) = \log_{4} 64 = 3$.
35. $6$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים: $\log_{2} 4 + \log_{2} 16 = \log_{2} (4\cdot 16) = \log_{2} 64 = 6$.
36. $1$ — לפי חוק חיסור לוגריתמים: $\log_{3} 81 - \log_{3} 9 = \log_{3} \frac{81}{9} = \log_{3} 9 = 1$.
37. $3$ — לפי חוק חיסור לוגריתמים: $\log_{2} 128 - \log_{2} 16 = \log_{2} \frac{128}{16} = \log_{2} 8 = 3$.
38. $2$ — לפי חוק חיסור לוגריתמים: $\log_{10} 10000 - \log_{10} 100 = \log_{10} \frac{10000}{100} = \log_{10} 100 = 2$.
39. $2$ — לפי חוק החזקה בלוגריתם: $2\log_{5} 5 = \log_{5} 5^{2} = 2 \cdot 1 = 2$.
40. $5$ — לפי חוק החזקה בלוגריתם: $5\log_{2} 2 = \log_{2} 2^{5} = 5 \cdot 1 = 5$.