מבחנים מיוחדים — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $83$ — הנגזרת היא $f'(x)=15x^{2}+10x+3$. נציב $x=2$: $f'(2)=15\cdot4+10\cdot2+3=83$.
2. $39$ — הנגזרת היא $f'(x)=6x^{2}+6x+3$. נציב $x=2$: $f'(2)=6\cdot4+6\cdot2+3=39$.
3. $63$ — הנגזרת היא $f'(x)=12x^{2}+6x+3$. נציב $x=2$: $f'(2)=12\cdot4+6\cdot2+3=63$.
4. $4$ — $f'(x)=6x-24$. משווים לאפס: $6x-24=0$ ומכאן $x=\frac{24}{6}=4$.
5. $1$ — $f'(x)=6x-6$. משווים לאפס: $6x-6=0$ ומכאן $x=\frac{6}{6}=1$.
6. $2$ — $f'(x)=2x-4$. משווים לאפס: $2x-4=0$ ומכאן $x=\frac{4}{2}=2$.
7. $3$ — $f'(x)=6x-18$. משווים לאפס: $6x-18=0$ ומכאן $x=\frac{18}{6}=3$.
8. $5$ — $f'(x)=2x-10$. משווים לאפס: $2x-10=0$ ומכאן $x=\frac{10}{2}=5$.
9. $4$ — $f'(x)=6x-24$. משווים לאפס: $6x-24=0$ ומכאן $x=\frac{24}{6}=4$.
10. $64$ — פונקציה קדומה: $F(x)=\frac{4}{2}x^{2}+4x$. לפי הנוסחה $F(5)-F(1)=64$.
11. $28$ — פונקציה קדומה: $F(x)=\frac{1}{2}x^{2}+5x$. לפי הנוסחה $F(4)-F(0)=28$.
12. $32$ — פונקציה קדומה: $F(x)=\frac{2}{2}x^{2}+2x$. לפי הנוסחה $F(5)-F(1)=32$.
13. $\frac{63}{2}$ — פונקציה קדומה: $F(x)=\frac{3}{2}x^{2}+3x$. לפי הנוסחה $F(4)-F(1)=\frac{63}{2}$.
14. $32$ — פונקציה קדומה: $F(x)=\frac{4}{2}x^{2}+0x$. לפי הנוסחה $F(4)-F(0)=32$.
15. $16$ — פונקציה קדומה: $F(x)=\frac{2}{2}x^{2}+4x$. לפי הנוסחה $F(3)-F(1)=16$.
16. $8$ — פונקציה קדומה: $F(x)=\frac{1}{2}x^{2}+3x$. לפי הנוסחה $F(2)-F(0)=8$.
17. $3$ — כותבים $125=5^{3}$, ולכן $5^{x}=5^{3}$ ומכאן $x=3$.
18. $5$ — כותבים $243=3^{5}$, ולכן $3^{x}=3^{5}$ ומכאן $x=5$.
19. $4$ — כותבים $81=3^{4}$, ולכן $3^{x}=3^{4}$ ומכאן $x=4$.
20. $4$ — כותבים $625=5^{4}$, ולכן $5^{x}=5^{4}$ ומכאן $x=4$.
21. $2$ — $\log_{10}100$ הוא החזקה שבה צריך להעלות את $10$ כדי לקבל $100$. מכיוון ש-$10^{2}=100$, התשובה היא $2$.
22. $5$ — $\log_{2}32$ הוא החזקה שבה צריך להעלות את $2$ כדי לקבל $32$. מכיוון ש-$2^{5}=32$, התשובה היא $5$.
23. $4$ — $\log_{10}10000$ הוא החזקה שבה צריך להעלות את $10$ כדי לקבל $10000$. מכיוון ש-$10^{4}=10000$, התשובה היא $4$.
24. $3$ — $\log_{10}1000$ הוא החזקה שבה צריך להעלות את $10$ כדי לקבל $1000$. מכיוון ש-$10^{3}=1000$, התשובה היא $3$.
25. $\log 10$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים $\log a+\log b=\log(ab)$, מקבלים $\log(2\cdot5)=\log 10$.
26. $\log 20$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים $\log a+\log b=\log(ab)$, מקבלים $\log(5\cdot4)=\log 20$.
27. $\log 100$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים $\log a+\log b=\log(ab)$, מקבלים $\log(20\cdot5)=\log 100$.
28. $\log 8$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים $\log a+\log b=\log(ab)$, מקבלים $\log(4\cdot2)=\log 8$.
29. $\frac{1}{2}$ — לפי ערכי הזוויות המיוחדות, $\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$.
30. $1$ — לפי ערכי הזוויות המיוחדות, $\cos 0^{\circ}=1$.
31. $1$ — לפי ערכי הזוויות המיוחדות, $\tan 45^{\circ}=1$.
32. $44$ — לפי $a_n=a_1+(n-1)d$: $a_{6}=9+(6-1)\cdot7=9+35=44$.
33. $21$ — לפי $a_n=a_1+(n-1)d$: $a_{10}=3+(10-1)\cdot2=3+18=21$.
34. $22$ — לפי $a_n=a_1+(n-1)d$: $a_{6}=7+(6-1)\cdot3=7+15=22$.
35. $72$ — לפי $a_n=a_1+(n-1)d$: $a_{10}=9+(10-1)\cdot7=9+63=72$.
36. $48$ — לפי $a_n=a_1+(n-1)d$: $a_{15}=6+(15-1)\cdot3=6+42=48$.
37. $107$ — לפי $a_n=a_1+(n-1)d$: $a_{15}=9+(15-1)\cdot7=9+98=107$.
38. $111$ — האיבר ה-$6$ הוא $a_{6}=31$. הסכום $S_{6}=\frac{6(6+31)}{2}=111$.
39. $66$ — האיבר ה-$6$ הוא $a_{6}=16$. הסכום $S_{6}=\frac{6(6+16)}{2}=66$.
40. $165$ — האיבר ה-$10$ הוא $a_{10}=30$. הסכום $S_{10}=\frac{10(3+30)}{2}=165$.