מבחנים מיוחדים — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $238$ — הנגזרת היא $f'(x)=12x^{2}+10x+6$. נציב $x=4$: $f'(4)=12\cdot16+10\cdot4+6=238$.
2. $95$ — הנגזרת היא $f'(x)=6x^{2}+12x+5$. נציב $x=3$: $f'(3)=6\cdot9+12\cdot3+5=95$.
3. $116$ — הנגזרת היא $f'(x)=6x^{2}+4x+4$. נציב $x=4$: $f'(4)=6\cdot16+4\cdot4+4=116$.
4. $227$ — הנגזרת היא $f'(x)=12x^{2}+8x+3$. נציב $x=4$: $f'(4)=12\cdot16+8\cdot4+3=227$.
5. $65$ — הנגזרת היא $f'(x)=9x^{2}+12x+5$. נציב $x=2$: $f'(2)=9\cdot4+12\cdot2+5=65$.
6. $14$ — הנגזרת היא $f'(x)=6x^{2}+6x+2$. נציב $x=1$: $f'(1)=6\cdot1+6\cdot1+2=14$.
7. $166$ — הנגזרת היא $f'(x)=15x^{2}+8x+7$. נציב $x=3$: $f'(3)=15\cdot9+8\cdot3+7=166$.
8. $149$ — הנגזרת היא $f'(x)=15x^{2}+4x+2$. נציב $x=3$: $f'(3)=15\cdot9+4\cdot3+2=149$.
9. $16$ — הנגזרת היא $f'(x)=6x^{2}+8x+2$. נציב $x=1$: $f'(1)=6\cdot1+8\cdot1+2=16$.
10. $81$ — הנגזרת היא $f'(x)=15x^{2}+10x+1$. נציב $x=2$: $f'(2)=15\cdot4+10\cdot2+1=81$.
11. $3$ — $f'(x)=6x-18$. משווים לאפס: $6x-18=0$ ומכאן $x=\frac{18}{6}=3$.
12. $52$ — פונקציה קדומה: $F(x)=\frac{3}{2}x^{2}+1x$. לפי הנוסחה $F(6)-F(2)=52$.
13. $18$ — פונקציה קדומה: $F(x)=\frac{4}{2}x^{2}+1x$. לפי הנוסחה $F(3)-F(1)=18$.
14. $12$ — פונקציה קדומה: $F(x)=\frac{1}{2}x^{2}+1x$. לפי הנוסחה $F(4)-F(0)=12$.
15. $28$ — פונקציה קדומה: $F(x)=\frac{2}{2}x^{2}+3x$. לפי הנוסחה $F(4)-F(0)=28$.
16. $4$ — כותבים $625=5^{4}$, ולכן $5^{x}=5^{4}$ ומכאן $x=4$.
17. $3$ — כותבים $27=3^{3}$, ולכן $3^{x}=3^{3}$ ומכאן $x=3$.
18. $2$ — כותבים $4=2^{2}$, ולכן $2^{x}=2^{2}$ ומכאן $x=2$.
19. $2$ — $\log_{3}9$ הוא החזקה שבה צריך להעלות את $3$ כדי לקבל $9$. מכיוון ש-$3^{2}=9$, התשובה היא $2$.
20. $5$ — $\log_{5}3125$ הוא החזקה שבה צריך להעלות את $5$ כדי לקבל $3125$. מכיוון ש-$5^{5}=3125$, התשובה היא $5$.
21. $3$ — $\log_{2}8$ הוא החזקה שבה צריך להעלות את $2$ כדי לקבל $8$. מכיוון ש-$2^{3}=8$, התשובה היא $3$.
22. $5$ — $\log_{10}100000$ הוא החזקה שבה צריך להעלות את $10$ כדי לקבל $100000$. מכיוון ש-$10^{5}=100000$, התשובה היא $5$.
23. $5$ — $\log_{10}100000$ הוא החזקה שבה צריך להעלות את $10$ כדי לקבל $100000$. מכיוון ש-$10^{5}=100000$, התשובה היא $5$.
24. $\log 8$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים $\log a+\log b=\log(ab)$, מקבלים $\log(4\cdot2)=\log 8$.
25. $\log 100$ — לפי חוק חיבור לוגריתמים $\log a+\log b=\log(ab)$, מקבלים $\log(20\cdot5)=\log 100$.
26. $1$ — לפי ערכי הזוויות המיוחדות, $\sin 90^{\circ}=1$.
27. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — לפי ערכי הזוויות המיוחדות, $\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
28. $1$ — לפי זהות פיתגורס הטריגונומטרית $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$.
29. $1$ — לפי זהות פיתגורס הטריגונומטרית $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$.
30. $1$ — לפי זהות פיתגורס הטריגונומטרית $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$.
31. $86$ — לפי $a_n=a_1+(n-1)d$: $a_{15}=2+(15-1)\cdot6=2+84=86$.
32. $90$ — האיבר ה-$6$ הוא $a_{6}=25$. הסכום $S_{6}=\frac{6(5+25)}{2}=90$.
33. $81$ — לפי $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$: $a_{5}=1\cdot3^{4}=81$.
34. $32$ — לפי $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$: $a_{6}=1\cdot2^{5}=32$.
35. $16$ — לפי $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$: $a_{4}=2\cdot2^{3}=16$.
36. $24$ — לפי $a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$: $a_{4}=3\cdot2^{3}=24$.
37. $(\frac{5}{2},-2)$ — אמצע הקטע: $M=\left(\frac{7-2}{2},\frac{-6+2}{2}\right)=(\frac{5}{2},-2)$.
38. $(\frac{3}{2},3)$ — אמצע הקטע: $M=\left(\frac{3+0}{2},\frac{-2+8}{2}\right)=(\frac{3}{2},3)$.
39. $(-\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$ — אמצע הקטע: $M=\left(\frac{1-4}{2},\frac{-5+2}{2}\right)=(-\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$.
40. $\frac{1}{2}$ — ההסתברות היא היחס בין מספר הכדורים האדומים לסך הכל: $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.