אלגברה — כיתה י"ב · 4 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $5$: $125 = 5^{3}$, ולכן $5^x = 5^{3}$ ומכאן $x = 3$.
2. $6$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $2$: $64 = 2^{6}$, ולכן $2^x = 2^{6}$ ומכאן $x = 6$.
3. $3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $10$: $1000 = 10^{3}$, ולכן $10^x = 10^{3}$ ומכאן $x = 3$.
4. $2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $4$: $16 = 4^{2}$, ולכן $4^x = 4^{2}$ ומכאן $x = 2$.
5. $3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $4$: $64 = 4^{3}$, ולכן $4^x = 4^{3}$ ומכאן $x = 3$.
6. $2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $7$: $49 = 7^{2}$, ולכן $7^x = 7^{2}$ ומכאן $x = 2$.
7. $2$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $6$: $36 = 6^{2}$, ולכן $6^x = 6^{2}$ ומכאן $x = 2$.
8. $7$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של $2$: $128 = 2^{7}$, ולכן $2^x = 2^{7}$ ומכאן $x = 7$.
9. $3$ — $16 = 2^4$, לכן $x+1 = 4$ ומכאן $x = 3$.
10. $2$ — $81 = 3^4$, לכן $2x = 4$ ומכאן $x = 2$.
11. $2$ — $32 = 2^5$, לכן $3x-1 = 5$, $3x = 6$ ומכאן $x = 2$.
12. $-2$ — $\frac{1}{25} = 5^{-2}$, לכן $x = -2$.
13. $-3$ — $\frac{1}{8} = 2^{-3}$, לכן $x = -3$.
14. אין פתרון — הביטוי $2^x$ חיובי תמיד לכל $x$, ולכן לא ייתכן שהוא שווה ל-$-4$. אין פתרון.
15. $2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{4} 16$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $4$ כדי לקבל $16$. מכיוון ש-$4^{2} = 16$, התשובה היא $2$.
16. $3$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{5} 125$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $5$ כדי לקבל $125$. מכיוון ש-$5^{3} = 125$, התשובה היא $3$.
17. $0$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{2} 1$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $2$ כדי לקבל $1$. מכיוון ש-$2^{0} = 1$, התשובה היא $0$.
18. $1$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{7} 7$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $7$ כדי לקבל $7$. מכיוון ש-$7^{1} = 7$, התשובה היא $1$.
19. $0$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{10} 1$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $10$ כדי לקבל $1$. מכיוון ש-$10^{0} = 1$, התשובה היא $0$.
20. $2$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{6} 36$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $6$ כדי לקבל $36$. מכיוון ש-$6^{2} = 36$, התשובה היא $2$.
21. $6$ — לפי הגדרת הלוגריתם, $\log_{2} 64$ הוא המעריך שאליו יש להעלות את $2$ כדי לקבל $64$. מכיוון ש-$2^{6} = 64$, התשובה היא $6$.
22. $-2$ — $\frac{1}{4} = 2^{-2}$, לכן $\log_{2} \frac{1}{4} = -2$.
23. $-2$ — $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, לכן $\log_{3} \frac{1}{9} = -2$.
24. $\frac{1}{2}$ — $\sqrt{5} = 5^{1/2}$, לכן $\log_{5} \sqrt{5} = \frac{1}{2}$.
25. $\frac{1}{3}$ — $\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$, לכן $\log_{2} \sqrt[3]{2} = \frac{1}{3}$.
26. $3$ — לפי תכונת הלוגריתם הטבעי, $\ln e^3 = 3 \ln e = 3 \cdot 1 = 3$.
27. $x > 0$ — לוגריתם מוגדר רק עבור מספרים חיוביים, ולכן תחום ההגדרה הוא $x > 0$.
28. $5$ — $\log_2 4 + \log_2 8 = \log_2(4\cdot 8) = \log_2 32 = 5$. (גם: $2+3=5$.)
29. $2$ — $\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 \frac{18}{2} = \log_3 9 = 2$.
30. $2$ — $\log_5 100 - \log_5 4 = \log_5 \frac{100}{4} = \log_5 25 = 2$.
31. $3$ — $\log_2 5 + \log_2 \frac{8}{5} = \log_2\left(5\cdot \frac{8}{5}\right) = \log_2 8 = 3$.
32. $6$ — $\log_2 8^2 = 2\log_2 8 = 2\cdot 3 = 6$.
33. $0.8$ — $\log(ab) = \log a + \log b = 0.3 + 0.5 = 0.8$.
34. $0.5$ — $\log\frac{a}{b} = \log a - \log b = 0.7 - 0.2 = 0.5$.
35. $1.2$ — $\log a^3 = 3\log a = 3\cdot 0.4 = 1.2$.
36. $2$ — $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$.
37. $2$ — $\log 2 + \log 50 = \log 100 = 2$.
38. $2$ — $\log_2 64 = 6$, $\log_2 8 = 3$, לכן $\frac{6}{3} = 2$.
39. $2$ — $\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 4 = 2$.
40. $3$ — $\log_2 40 - \log_2 5 = \log_2 8 = 3$.