אלגברה — כיתה י"א · 5 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $-4<x<1$ — שורשי המשוואה הם $x=-4,\ x=1$. הפרבולה נפתחת כלפי מעלה, ולכן היא שלילית בין השורשים: $-4<x<1$.
2. $\sin\alpha$ — $1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$, ולכן $\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha$.
3. $x\le -4\ \lor\ x\ge 2$ — השורשים הם $x=-4,\ x=2$. הפרבולה נפתחת כלפי מעלה ולכן אי-שלילית מחוץ לשורשים: $x\le -4$ או $x\ge 2$.
4. $x=7,\ x=-2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(7))(x-(-2))=0$, ולכן $x=7$ או $x=-2$. הצבה חזרה מאשרת.
5. $\sin 2\alpha$ — נוסחת הזווית הכפולה: $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$.
6. $\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ — מחלקים את $\sin^2+\cos^2=1$ ב-$\cos^2\alpha$ ומקבלים $1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$.
7. $x\le 2\ \lor\ x\ge 3$ — השורשים הם $x=2,\ x=3$. הפרבולה נפתחת כלפי מעלה ולכן אי-שלילית מחוץ לשורשים: $x\le 2$ או $x\ge 3$.
8. $-2<x<3$ — שורשי המשוואה הם $x=-2,\ x=3$. הפרבולה נפתחת כלפי מעלה, ולכן היא שלילית בין השורשים: $-2<x<3$.
9. $x=34$ — מעלים בריבוע: $x+2=36$, ולכן $x=34$. בדיקה: $\sqrt{34+2}=\sqrt{36}=6$, תקין.
10. $x=90^\circ,\ x=270^\circ$ — $\cos x=0$ עבור $x=90^\circ$ ו-$x=270^\circ$ בתחום $[0^\circ,360^\circ)$.
11. $x=90^\circ$ — $\sin x=1$ רק עבור $x=90^\circ$ בתחום $[0^\circ,360^\circ)$.
12. $-1<x<5$ — שורשי המשוואה הם $x=-1,\ x=5$. הפרבולה נפתחת כלפי מעלה, ולכן היא שלילית בין השורשים: $-1<x<5$.
13. $x=7$ — מכפילים פנימה: $8=2(x-3)$, ולכן $x-3=\dfrac{8}{2}=4$ ומכאן $x=7$. התנאי $x\neq 3$ מתקיים.
14. $2<x<3$ — שורשי המשוואה הם $x=2,\ x=3$. הפרבולה נפתחת כלפי מעלה, ולכן היא שלילית בין השורשים: $2<x<3$.
15. $\cos\alpha$ — $\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, ולכן $\sin\alpha\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cos\alpha$.
16. $18$ — $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot9\cdot\sin 90^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot36\cdot1=18$.
17. $1$ — זהות פיתגורס הטריגונומטרית: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
18. $x=9,\ x=3$ — $x-6=3$ או $x-6=-3$, ולכן $x=9$ או $x=3$.
19. $x=8$ — מכפילים פנימה: $3=1(x-5)$, ולכן $x-5=\dfrac{3}{1}=3$ ומכאן $x=8$. התנאי $x\neq 5$ מתקיים.
20. $x=8,\ x=6$ — $x-7=1$ או $x-7=-1$, ולכן $x=8$ או $x=6$.