חדו״א — כיתה י׳ · יסודות בגרות

פתרונות

1. 3x² − 4 — (x³)' = 3x², (−4x)' = −4, (7)' = 0. סכום: 3x² − 4.
2. 12x³ − 4x — (3x⁴)' = 12x³, (−2x²)' = −4x, (5)' = 0. סה"כ: 12x³ − 4x.
3. 10x − 7 — (5x²)' = 10x; (−7x)' = −7; קבוע 2 נעלם.
4. 6 — נגזרת של c·x היא הקבוע c. (6x)' = 6.
5. −5x⁴ + 3 — (−x⁵)' = −5x⁴; (3x)' = 3.
6. 0 — נגזרת של פונקציה קבועה היא תמיד 0.
7. 8 — f'(x) = 3x² − 2x. f'(2) = 12 − 4 = 8.
8. 8x + 4 — פתח: f(x) = 4x² + 4x + 1. f'(x) = 8x + 4.
9. −10 — f'(x) = 8x³ + 2x. f'(−1) = −8 − 2 = −10.
10. 3x² − 3 — פתח: f(x) = x³ − 3x. f'(x) = 3x² − 3.
11. 20 — f(x) = x⁴ + C. f(1) = 1 + C = 5 ⇒ C = 4. f(2) = 16 + 4 = 20.
12. 32/3 — שורשים: x = ±2. f ≥ 0 בקטע. שטח = ∫[−2..2] (4 − x²)dx = 32/3.
13. x² − 3x + C — ∫2x = x²; ∫(−3) = −3x.
14. 2 — F(x) = x³ + x². F(1) − F(0) = 1 + 1 = 2.
15. 9 — f ≥ 0 בקטע. שטח = ∫[0..3] x² dx = 27/3 = 9.
16. x⁵ − x³ + C — ∫5x⁴ = x⁵; ∫(−3x²) = −x³.
17. 10 × 10 — סמן צלע x. הצלע השנייה 20 − x. A(x) = x(20−x). A'(x) = 20 − 2x = 0 ⇒ x = 10.
18. 18 — ניצבים: x, 12−x. שטח = x(12−x)/2. נגזרת: (12 − 2x)/2 = 0 ⇒ x = 6. שטח = 6·6/2 = 18.
19. 48 — x·y = 144 ⇒ y = 144/x. P(x) = 2x + 288/x. P'(x) = 2 − 288/x² = 0 ⇒ x² = 144 ⇒ x = 12. ריבוע 12×12, P = 48.
20. 2 — V(x) = x(16−2x)(10−2x). V'(x) = 12x² − 104x + 160 = 0 ⇒ x = 2 (השני 20/3 מחוץ לתחום 0 < x < 5).