חדו״א — כיתה י׳ · יסודות בגרות (קשה)

פתרונות

1. 20 — f(x) = x⁴ + C. f(1) = 1 + C = 5 ⇒ C = 4. f(2) = 16 + 4 = 20.
2. 32/3 — שורשים: x = ±2. f ≥ 0 בקטע. שטח = ∫[−2..2] (4 − x²)dx = 32/3.
3. 10 × 10 — סמן צלע x. הצלע השנייה 20 − x. A(x) = x(20−x). A'(x) = 20 − 2x = 0 ⇒ x = 10.
4. 18 — ניצבים: x, 12−x. שטח = x(12−x)/2. נגזרת: (12 − 2x)/2 = 0 ⇒ x = 6. שטח = 6·6/2 = 18.
5. 48 — x·y = 144 ⇒ y = 144/x. P(x) = 2x + 288/x. P'(x) = 2 − 288/x² = 0 ⇒ x² = 144 ⇒ x = 12. ריבוע 12×12, P = 48.
6. 2 — V(x) = x(16−2x)(10−2x). V'(x) = 12x² − 104x + 160 = 0 ⇒ x = 2 (השני 20/3 מחוץ לתחום 0 < x < 5).
7. אין מספר חיובי (המינימום ב-x=0) — f(x) = x + x²; f'(x) = 1 + 2x > 0 לכל x > 0. הפונקציה עולה ב-(0, ∞) ⇒ אין מינ' פנימי.
8. 32√3/9 — מלבן ברוחב 2x וגובה 4−x². A(x) = 2x(4−x²) = 8x − 2x³. A'(x) = 8 − 6x² = 0 ⇒ x² = 4/3 ⇒ x = 2/√3. A_max = 32√3/9.
9. 4 — x²·h = 32 ⇒ h = 32/x². שטח S = x² + 4xh = x² + 128/x. S'(x) = 2x − 128/x² = 0 ⇒ x³ = 64 ⇒ x = 4.
10. 2 — f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = 1 (בתוך התחום). f(0)=0, f(1)=−2, f(2)=2. המקס' הוא 2.
11. 5/3 — V(x) = x(10−2x)². V'(x) = (10−2x)² + x·2(10−2x)·(−2) = (10−2x)(10 − 6x). = 0 ⇒ x = 5 (חוץ) או x = 5/3.
12. (−1, −4) — f'(x) = 2x + 2 = 0 ⇒ x = −1 בתוך הקטע. f(−1) = −4, f(−3) = 0, f(0) = −3. המינ' (−1, −4).
13. 4π(t + 1)² — V(t) = (4/3)π(t+1)³. V'(t) = (4/3)π·3(t+1)² = 4π(t+1)².
14. 12x² − 12x — f'(x) = 4x³ − 6x², f''(x) = 12x² − 12x.
15. 2 או −2 — f'(x) = 3x² = 12 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2.
16. 3 — פתח: x³ + 2x² − x − 2. f'(x) = 3x² + 4x − 1. f'(1) = 6.
17. 3 — f'(x) = 2ax + 4. f'(1) = 2a + 4 = 10 ⇒ a = 3.
18. 3(x + 3)² — פתח: f(x) = x³ + 9x² + 27x + 27. f'(x) = 3x² + 18x + 27 = 3(x + 3)².
19. 3x² − 4x + 1 — פתח: x³ − 2x² + x − 2. f'(x) = 3x² − 4x + 1.
20. −12 — f'(x) = 3x² + b. f'(2) = 12 + b = 0 ⇒ b = −12.
21. 4 — f'(x) = 4x³ − 12x² + 12x. f'(1) = 4 − 12 + 12 = 4.
22. y = 2x − 9 — f(3) = −3; f'(x) = 2x−4, f'(3) = 2. y + 3 = 2(x − 3) ⇒ y = 2x − 9.
23. 2 — ישרים מקבילים ⇒ שיפועים שווים. f'(x) = 2x + 2 = 6 ⇒ x = 2.
24. 3 — f(3) = 9 − 18 + 5 = −4 ו-f'(3) = 0 ⇒ המשיק y = −4 חותך ציר y ב-(−4).
25. 3 — f'(x) = 2x + a; f'(1) = 2 + a = 5 ⇒ a = 3.
26. 0 — משיק ב-x = a: y = 2ax − a². עובר בראשית ⇒ −a² = 0 ⇒ a = 0.
27. x = 0 ו-x = 2 — f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0 או x = 2.
28. −2 — f'(x) = 2x + b. f'(0) = b. שיפוע המשיק הוא −2 ⇒ b = −2.
29. (2, 2) — f'(x) = 2x − 1 = 3 ⇒ x = 2. f(2) = 4 − 2 = 2.
30. 2 או −2 — משיק: y = 2ax − a². חותך ציר y ב-(−a²) = −4 ⇒ a² = 4 ⇒ a = ±2.
31. y = −2 ו-y = 2 — f'(x) = 0 ⇒ x = ±1. f(1) = −2, f(−1) = 2. שני משיקים אופקיים.
32. 1/2 — משיק: y = 2x − 1. y = 0 ⇒ x = 1/2.
33. x = 1 או x = −1 — שיפוע הישר = −1/6 ⇒ מאונך לו = 6. f'(x) = 3x² + 3 = 6 ⇒ x² = 1.
34. y = 3x − 2 — f(1) = 1; f'(x) = 4x − 1; f'(1) = 3. y − 1 = 3(x − 1) ⇒ y = 3x − 2.
35. 2 — f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x−1)(x−3) ⇒ שורשים ב-x=1, x=3, שני קיצונים.
36. (1, 4) — f'(x) = 3(x−1)(x−3). ב-x=1 הסימן +→− ⇒ מקסימום. f(1) = 1 − 6 + 9 = 4.
37. (3, 0) — ב-x=3 שינוי סימן −→+ ⇒ מינימום. f(3) = 27 − 54 + 27 = 0.
38. 3 — f'(x) = 4x³ − 16x = 4x(x² − 4) = 4x(x−2)(x+2). שלושה שורשים, כל אחד עם שינוי סימן.
39. (−∞, −1) ∪ (1, ∞) — f'(x) = 3x² − 3 > 0 ⇒ x² > 1 ⇒ x < −1 או x > 1.
40. מקס (−1, 2), מינ (1, −2) — f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1. f(−1) = 2 (מקס), f(1) = −2 (מינ).