← חזרה לכל הכלים
📏
משוואת ישר דרך 2 נקודות
y = mx + b אוטומטית מ־(x₁,y₁) ל־(x₂,y₂).
(1, 3) → (2, 5)
משוואת הישר:
y = 2x + 1
שיפוע
m = 2
חיתוך עם y
b = 1
פתרון צעד-אחר-צעד
שלב 1 — מוצאים את השיפוע m:
m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = (5 − 3) / (2 − 1) = 2 / 1 = 2
שלב 2 — מוצאים את b על־ידי הצבת הנקודה (x₁, y₁):
y = mx + b → b = y₁ − m·x₁ = 3 − 2 · 1 = 1
שלב 3 — תוצאה:
y = 2x + 1
צורות נוספות של אותו ישר
צורת שיפוע־חיתוך (slope-intercept)
y = 2x + 1
צורה סטנדרטית (standard form)
2x − y = −1
צורת נקודה־שיפוע (point-slope)
y − 3 = 2·(x − 1)
גרף
דוגמאות
איך מוצאים משוואת ישר דרך 2 נקודות?
לכל ישר במישור יש משוואה ייחודית, ושתי נקודות שונות מספיקות כדי לקבוע אותו לחלוטין. הצורה הנפוצה ביותר היא y = mx + b, כאשר m הוא השיפוע (כמה ה־y עולה לכל יחידה של x) ו־b הוא ערך ה־y בנקודת החיתוך עם ציר ה־y.
y = mx + b — הצורה הסטנדרטית של משוואת ישר. כדי למצוא אותה משתי נקודות מבצעים שני שלבים: ראשית מחשבים את השיפוע m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), ואז מציבים את אחת הנקודות במשוואה ופותרים עבור b: b = y − m·x.
שלוש דוגמאות
דוגמה 1: הנקודות (1, 3) ו־(2, 5).
m = (5 − 3) / (2 − 1) = 2 / 1 = 2; b = 3 − 2·1 = 1; y = 2x + 1.
m = (5 − 3) / (2 − 1) = 2 / 1 = 2; b = 3 − 2·1 = 1; y = 2x + 1.
דוגמה 2: הנקודות (0, 4) ו־(3, −2).
m = (−2 − 4) / (3 − 0) = −6 / 3 = −2; b = 4 − (−2)·0 = 4; y = −2x + 4.
m = (−2 − 4) / (3 − 0) = −6 / 3 = −2; b = 4 − (−2)·0 = 4; y = −2x + 4.
דוגמה 3: הנקודות (−2, 5) ו־(2, −3).
m = (−3 − 5) / (2 − (−2)) = −8 / 4 = −2; b = 5 − (−2)·(−2) = 5 − 4 = 1; y = −2x + 1.
m = (−3 − 5) / (2 − (−2)) = −8 / 4 = −2; b = 5 − (−2)·(−2) = 5 − 4 = 1; y = −2x + 1.
טעות נפוצה
לחשב b שגוי — תלמידים רבים מנסים לנחש את b לפי הסתכלות בלבד. תמיד הצב את אחת הנקודות אחרי שמצאת m: לאחר שמצאת את השיפוע, קח את (x₁, y₁) או (x₂, y₂) והצב במשוואה y = mx + b. שתי הנקודות חייבות לתת את אותו b — וזו דרך מצוינת לוודא שלא טעית.
💼 איפה משתמשים: פיזיקה (תנועה אחידה — מיקום כפונקציה של זמן), כלכלה (גרפי מחיר־כמות, ביקוש והיצע), המרה בין יחידות (צלזיוס ⇄ פרנהייט), ובכל מצב שבו שני גדלים נמצאים ביחס ליניארי. זוהי המשוואה הבסיסית ביותר באלגברה לינארית — ובלעדיה אי־אפשר להבין רגרסיה, גרפים, או פונקציות מסדר גבוה.
איך משתמשים
- הזינו את שתי הנקודות (x₁, y₁) ו־(x₂, y₂).
- הכלי מחשב m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) ואז b = y₁ − m·x₁.
- כאשר x₁ = x₂ הישר אנכי ולכן אין שיפוע — מציגים x = c.
- הצורות המוצגות: שיפוע־חיתוך, סטנדרטית, ונקודה־שיפוע.