סכום זוויות במצולע — הנוסחה, ההוכחה ודוגמאות

סכום הזוויות הפנימיות בכל מצולע קמור בעל n צלעות נתון בנוסחה (n-2)×180°. הרעיון מאחורי הנוסחה: כל מצולע אפשר לחלק ל-(n-2) משולשים על ידי חיבור אלכסונים מקודקוד אחד, וכל משולש תורם 180° לסכום הכולל. במצולע משוכלל (שכל הצלעות והזוויות שלו שוות), מחלקים את הסכום הכולל במספר הזוויות n כדי לקבל את גודל כל זווית פנימית בודדת. למשל במחומש (n=5): סכום=540°, וכל זווית=108°.

הנוסחה לסכום זוויות במצולע

לכל מצולע קמור (מצולע שאין בו 'שקעים פנימיים') בעל n צלעות, סכום כל הזוויות הפנימיות שווה ל-(n-2)×180°. n הוא מספר הצלעות (וגם מספר הקודקודים והזוויות, כי הם תמיד שווים במצולע). הנוסחה הזו עובדת לכל מצולע קמור, לא משנה אם הצלעות שוות זו לזו או לא — היא תלויה רק במספר הצלעות.

הוכחה: למה הנוסחה עובדת?

הרעיון מאחורי ההוכחה פשוט ואלגנטי: בוחרים קודקוד אחד במצולע, ומעבירים ממנו אלכסונים לכל שאר הקודקודים (חוץ משני השכנים הצמודים אליו, כי אליהם כבר יש צלעות). הפעולה הזו מחלקת את המצולע כולו למשולשים, בלי חפיפה ובלי רווחים.

כמה משולשים מתקבלים? תמיד בדיוק n-2. במרובע (n=4) מתקבלים 2 משולשים. במחומש (n=5) מתקבלים 3 משולשים. במשושה (n=6) מתקבלים 4 משולשים. הדפוס תמיד: מספר הצלעות פחות 2.

מכיוון שכל משולש תורם בדיוק 180° לסכום הזוויות (זו עובדה יסודית בגאומטריה, שגם אותה אפשר להוכיח בעזרת קווים מקבילים), וכל הזוויות הפנימיות של המצולע מתחלקות בדיוק בין המשולשים בלי חפיפה — סכום כל הזוויות של המצולע שווה למספר המשולשים כפול 180°, כלומר (n-2)×180°.

דוגמה פתורה: סכום זוויות במחומש (n=5)

מציבים n=5 בנוסחה: סכום = (5-2)×180° = 3×180° = 540°. אם המחומש משוכלל (כל הזוויות שוות), כל זווית בודדת שווה ל-540°/5 = 108°.

דוגמה פתורה: סכום זוויות במשושה (n=6)

מציבים n=6 בנוסחה: סכום = (6-2)×180° = 4×180° = 720°. במשושה משוכלל, כל זווית בודדת שווה ל-720°/6 = 120° — בדיוק הזווית שרואים בכוורת דבורים או ברעפי אריחים משושים.

סכום זוויות במצולע משוכלל — נוסחה נפרדת

מצולע משוכלל (Regular Polygon) הוא מצולע שבו כל הצלעות שוות אורך וכל הזוויות שוות גודל — למשל משולש שווה-צלעות, ריבוע, מחומש משוכלל וכן הלאה. כדי למצוא את גודל הזווית הפנימית הבודדת במצולע משוכלל, פשוט מחלקים את סכום כל הזוויות (שמחושב עם הנוסחה הרגילה) במספר הזוויות n:

זווית פנימית בודדת = (n-2)×180° ÷ n

לדוגמה, בריבוע (n=4, משוכלל תמיד): (4-2)×180°/4 = 360°/4 = 90° — בדיוק כפי שמצפים מכל זווית בריבוע. במתומן משוכלל (n=8): (8-2)×180°/8 = 1080°/8 = 135°.

אפשר לחשב את זה מהר לכל מספר צלעות במחשבון זוויות מצולע אינטראקטיבי, שגם מציג את המצולע ואת האלכסונים שמחלקים אותו למשולשים.

טעויות נפוצות

• שכחת ה-(n-2) — טעות נפוצה היא לחשב n×180° במקום (n-2)×180°, מה שנותן תוצאה גדולה מדי.
• בלבול בין סכום כל הזוויות לזווית בודדת — סכום הזוויות הוא (n-2)×180°, אבל זווית בודדת במשוכלל היא הסכום הזה חלקי n. אלה שני מספרים שונים לגמרי.
• שימוש בנוסחה על מצולע לא-קמור — הנוסחה (n-2)×180° תקפה רק למצולעים קמורים. במצולע עם 'שקע' (זווית פנימית גדולה מ-180°) הנוסחה לא עובדת ישירות באותה צורה.
• בלבול בין זווית פנימית לזווית חיצונית — סכום הזוויות החיצוניות בכל מצולע קמור הוא תמיד 360°, בלי קשר למספר הצלעות. זו נוסחה שונה לגמרי מנוסחת הזוויות הפנימיות.

תרגול

אחרי שהנוסחה ברורה, כדאי לתרגל על כמה מצולעים שונים — משולש, מרובע, מחומש, משושה ומתומן — עד שחישוב (n-2)×180° הופך אוטומטי. עמוד גאומטריה לכיתה ז' כולל תרגול נוסף על תכונות מצולעים וזוויות.

← חזרה לכל המאמרים