תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)=0$ נותן $x=0,1$. $f''(x)=12x-6$: $f''(0)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
2. $4$ — מינימום ב-$x=1$: $f(1)=1-2+5=4$.
3. $\frac{1}{\sqrt{x}}+3$ — נגזרת $2\sqrt{x}=2x^{1/2}$ היא $2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$, ונגזרת $3x$ היא $3$.
4. $y=2$ — מעלות שוות, יחס מקדמים מובילים $\frac{2}{1}=2$, לכן $y=2$.
5. $y=0$ — כאשר $x\to\pm\infty$, $\frac{1}{x}\to 0$, לכן האסימפטוטה האופקית היא $y=0$.
6. $-\frac{1}{4}$ — $f'(x)=x^3-x=x(x^2-1)=0$ נותן $x=0,\pm 1$. מינימום ב-$x=\pm 1$: $f(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$.
7. $x<0$ או $x>2$ — $f'(x)=x(x-2)>0$ מחוץ לשורשים, כלומר $x<0$ או $x>2$.
8. $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ — $\sqrt{x}=x^{1/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
9. $5x^4$ — לפי כלל החזקה $(x^5)'=5x^{4}$.
10. $\frac{-7}{(x-3)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{2(x-3)-(2x+1)\cdot 1}{(x-3)^2}=\frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2}=\frac{-7}{(x-3)^2}$.
11. $3x^2-4$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^n)'=nx^{n-1}$: נגזרת $x^3$ היא $3x^2$ ונגזרת $-4x$ היא $-4$, לכן $f'(x)=3x^2-4$.
12. אחת ($x=0$) — $f(x)=\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$ (עבור $x\ne -1$). ב-$x=-1$ יש 'חור' ולא אסימפטוטה. אסימפטוטה אנכית יחידה: $x=0$.
13. מקסימום ב-$x=-2$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=6(x+2)(x-1)=0$ נותן $x=-2,1$. $f''(x)=12x+6$: $f''(-2)=-18<0$ מקסימום, $f''(1)=18>0$ מינימום.
14. $x=5$ — $f'(x)=2x-10=0$ נותן $x=5$. מקדם חיובי — מינימום.
15. מינימום ב-$x=0$ — $f'(x)=\frac{4x(x^2+1)-2x^2\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=0$. הנגזרת שלילית לפני וחיובית אחרי — מינימום.
16. $1+\frac{1}{x^2}$ — $f(x)=x-x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1-(-x^{-2})=1+\frac{1}{x^2}$.
17. אף אחת — $f'(x)=\frac{(x-2)-(x+2)}{(x-2)^2}=\frac{-4}{(x-2)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת ואין קיצון.
18. $x=1$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. הנגזרת השנייה מחליפה סימן שם, לכן נקודת פיתול.
19. $x=\sqrt{50}$ — $P'=2-\frac{100}{x^2}=0$ נותן $x^2=50$, כלומר $x=\sqrt{50}$ (המלבן הוא ריבוע).
20. $8x-4$ — נפתח: $f(x)=4x^2-4x+1$, ולכן $f'(x)=8x-4$. (גם כלל שרשרת: $2(2x-1)\cdot 2=8x-4$.)
21. $6$ — $f'(x)=3x^2+1$, $f''(x)=6x$, ולכן $f''(1)=6$.
22. $2ax+b$ — גוזרים: $2ax+b$. הקבוע $c$ נעלם.
23. $300$ — מקסימום ב-$x=20$: $P(20)=-400+800-100=300$ אלפי ש"ח.
24. אין נקודה אחרת — המשיק היחיד דרך הראשית הוא $y=0$ — משיק בנקודה $(a,a^2)$ הוא $y=2a x-a^2$. כדי שיעבור דרך $(0,0)$ צריך $-a^2=0$, כלומר $a=0$. לכן המשיק היחיד הוא $y=0$.
25. $\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$.
26. $24$ — $f'(x)=6x(x^2+1)^2$, ולכן $f'(1)=6\cdot 1\cdot(2)^2=6\cdot 4=24$.
27. $9$ — $f'(x)=3x^2-3$, ולכן $f'(2)=3\cdot 4-3=9$.
28. $y=2$ — כשהמעלות שוות, האסימפטוטה האופקית היא יחס המקדמים המובילים: $\frac{2}{1}=2$, כלומר $y=2$.
29. $x=0$ — המכנה $x=0$ והמונה $x^2-1=-1\ne 0$ שם, לכן אסימפטוטה אנכית $x=0$.
30. $16$ — $f'(x)=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm 2$. מקסימום ב-$x=-2$: $f(-2)=-8+24=16$.
31. $2x(x-1)^3+3x^2(x-1)^2$ — כלל מכפלה: $u=x^2,\ u'=2x$; $v=(x-1)^3,\ v'=3(x-1)^2$. אז $f'=2x(x-1)^3+3x^2(x-1)^2$.
32. $y=-x$ — $f'(x)=3x^2-1$, $f'(0)=-1$. הנקודה $(0,0)$. המשיק: $y=-x$.
33. $y=2$ — מעלות שוות, יחס מקדמים מובילים $\frac{2}{1}=2$, לכן $y=2$.
34. $6x(x^2+1)^2$ — כלל השרשרת: $3(x^2+1)^2\cdot 2x=6x(x^2+1)^2$.
35. $15x^2+4x-7$ — גוזרים: $15x^2+4x-7$. הקבוע $+1$ נעלם בגזירה.