תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x=3$ — $f'(x)=1-\frac{9}{x^2}=0$ נותן $x^2=9$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=3$. ערך המינימום $3+3=6$.
2. $x=1$ — $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=0$ נותן $x^2=1$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=1$. שם מינימום (ערך $2$).
3. אף אחת — $f'(x)=\frac{(x-2)-(x+2)}{(x-2)^2}=\frac{-4}{(x-2)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת ואין קיצון.
4. $4$ — מינימום ב-$x=1$: $f(1)=1-2+5=4$.
5. $5$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. מקסימום ב-$x=1$: $f(1)=1-6+9+1=5$.
6. $9$ — $f'(x)=3x^2-3$, ולכן $f'(2)=3\cdot 4-3=9$.
7. $-\frac{6}{x^3}$ — $\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$, ולכן הנגזרת $3\cdot(-2)x^{-3}=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^3}$.
8. $\frac{2}{(x+1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$.
9. מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)=0$ נותן $x=0,1$. $f''(x)=12x-6$: $f''(0)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
10. נקודת פיתול אופקית (לא קיצון) — $f'(x)=3x^2\ge 0$ ואינו מחליף סימן ב-$x=0$, לכן זו אינה נקודת קיצון אלא נקודת פיתול עם משיק אופקי.
11. $4x(x^2-1)$ — $f(x)=[(x+1)(x-1)]^2=(x^2-1)^2$. כלל השרשרת: $2(x^2-1)\cdot 2x=4x(x^2-1)$.
12. שתיים — הנגזרת מתאפסת ב-$x=0$ וב-$x=2$ ומחליפה סימן בשתיהן (מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=2$), לכן שתי נקודות קיצון.
13. $1-\frac{1}{x^2}$ — נפשט: $f(x)=x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1-x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}$.
14. $6$ — $f'(x)=6x+7$, ולכן $f''(x)=6$.
15. $\frac{1}{\sqrt{x}}+3$ — נגזרת $2\sqrt{x}=2x^{1/2}$ היא $2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$, ונגזרת $3x$ היא $3$.
16. $100$ — אם $x+y=20$ אז $y=20-x$ והמכפלה $P=x(20-x)=20x-x^2$. $P'=20-2x=0$ נותן $x=10$, ואז $P=10\cdot 10=100$.
17. $x<-2$ או $x>1$ — $f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1)>0$ כאשר $x<-2$ או $x>1$.
18. מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=2$ — $f'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}=0$ נותן $x=0,2$. בדיקת סימן: ב-$x=0$ מקסימום, ב-$x=2$ מינימום.
19. $\frac{1}{4}$ — $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, ולכן $f'(4)=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}$.
20. מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f(x)=3x^2-x^3$, $f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=6-6x$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
21. מינימום ב-$x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם $x^2$ חיובי — פרבולה פתוחה כלפי מעלה, לכן מינימום.
22. $\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$.
23. $x=2$ — משיק אופקי כאשר $f'(x)=0$. $f'(x)=2x-4=0$ נותן $x=2$.
24. $y=1$ — מעלות שוות, יחס המקדמים המובילים $\frac{1}{1}=1$, לכן $y=1$.
25. $8x^3-6x$ — נגזרת $2x^4$ היא $8x^3$, נגזרת $-3x^2$ היא $-6x$, ונגזרת קבוע היא $0$. לכן $f'(x)=8x^3-6x$.
26. $6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$ — כלל מכפלה: $u=(2x+1)^3,\ u'=6(2x+1)^2$; $v=x-1,\ v'=1$. אז $f'=6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$.
27. $(3,-4)$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$, ו-$f(3)=9-18+5=-4$, לכן הקיצון ב-$(3,-4)$.
28. מינימום ב-$x=2$ — $f'(x)=2x-\frac{16}{x^2}=0$ נותן $2x^3=16$, כלומר $x^3=8$, $x=2$. $f''(x)=2+\frac{32}{x^3}>0$ ב-$x=2$, לכן מינימום.
29. $3$ — $f'(x)=2x+b$, $f'(1)=2+b=5$, ולכן $b=3$.
30. $1+\frac{1}{x^2}$ — $f(x)=x-x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1-(-x^{-2})=1+\frac{1}{x^2}$.
31. לא קיצון (הנגזרת לא מחליפה סימן) — $f'(x)=3(x-2)^2\ge 0$ תמיד ואינו מחליף סימן ב-$x=2$, לכן אין שם קיצון.
32. $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $f'(x)=12x^2-9=0$ נותן $x^2=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$, ולכן $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
33. $x=3$ — המכנה מתאפס ב-$x=3$ (והמונה אינו), לכן האסימפטוטה האנכית היא $x=3$.
34. $5$ — $f'(a)=2a=10$, ולכן $a=5$.
35. $x=1$ — המכנה מתאפס ב-$x=1$ והמונה $x^2=1\ne 0$ שם, לכן אסימפטוטה אנכית $x=1$.