משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. x = 3 או x = −3 — x² = 9, ולכן x = ±√9 = ±3.
2. x = 3 או x = −1/2 — a=2, b=−5, c=−3. מפלט = 25 + 24 = 49. שורשים: (5 ± 7)/4. x = 12/4 = 3, x = −2/4 = −1/2.
3. x = 3 או x = −3 — x² = 9, לכן x = ±3.
4. אין פתרון ממשי — x² = −4, שורש של מספר שלילי אינו ממשי.
5. (2, 1) — x קודקוד = −4/(2·(−1)) = 2. y = −4 + 8 − 3 = 1. קודקוד (2, 1).
6. (x − 3)(x + 3) — x² − 9 = x² − 3². זוהי הפרש ריבועים: a² − b² = (a − b)(a + b). כאן a = x, b = 3. לכן x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
7. תמיד חיובי — x² ≥ 0 לכל x, ולכן x² + 1 ≥ 1 > 0 — תמיד חיובי.
8. x = 2 ו-x = 3 — פירוק: (x−2)(x−3) = 0. לכן x = 2 או x = 3.
9. x = 0.5 או x = −3 — Δ = 25 + 24 = 49. x = (−5 ± 7)/4. x₁=(−5+7)/4=0.5, x₂=(−5−7)/4=−3.
10. כל הממשיים — x² תמיד אי-שלילי לכל x ממשי, לכן x² ≥ 0 לכל x.
11. x = 2 או x = −2 — 2x² = 8, x² = 4, x = ±2.
12. (3, 4) ו-(4, 3) — y=7−x. x²+(7−x)²=25, 2x²−14x+49=25, 2x²−14x+24=0, x²−7x+12=0, (x−3)(x−4)=0.
13. k < 4, k ≠ 0 — לשני פתרונות שונים דרוש Δ > 0: (−4)²−4k·1>0. 16−4k>0. k<4. גם k≠0 (אחרת לא ריבועית).
14. (−2, 0) ו־(3, 5) — x² − 4 = x + 2, x² − x − 6 = 0, (x−3)(x+2) = 0. נקודות: (3,5) ו(−2,0).
15. x = 5 או x = −5 — x² = 25, לכן x = ±5.
16. x ≤ −½ או x ≥ 3 — שורשים של 2x² − 5x − 3 = 0: x = 3 ו-x = −½. הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים.
17. 3 < x < 4 — x² − 4x < 0 → 0 < x < 4. x² − 2x − 3 > 0 → x < −1 או x > 3. חיתוך: 3 < x < 4.
18. x < −3 או x > 3 — (x − 3)(x + 3) > 0. חיובי מחוץ לשורשים −3 ו-3.
19. x ≤ −3 או x ≥ 3 — x² − 9 ≥ 0. (x − 3)(x + 3) ≥ 0. מחוץ לשורשים: x ≤ −3 או x ≥ 3.
20. 20 ש״ח — x קודקוד = −80 / (2·(−2)) = 80/4 = 20 ש״ח.