משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. −3 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 3 — x² ≤ 9 → −3 ≤ x ≤ 3. x² ≥ 1 → x ≤ −1 או x ≥ 1. החיתוך: −3 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 3.
2. 3 < x < 7 — −x² + 10x − 21 > 0. שורשים: x = 3, x = 7. a < 0: פרבולה חיובית בין השורשים.
3. −2 ≤ x ≤ 4 — (x−4)(x+2) ≤ 0 — הכפל אי-חיובי בין השורשים: −2 ≤ x ≤ 4.
4. x=2 או x=3 — נחפש שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5: 2 ו-3. (x−2)(x−3)=0. x=2 או x=3.
5. x=0.5 או x=−3 — משוואה ריבועית: a=2, b=5, c=−3. דיסקרימיננט = 25+24=49. x=(−5±7)/4. x₁=2/4=0.5, x₂=−12/4=−3.
6. x = 1 או x = −5 — x² + 4x = 5 → (x + 2)² − 4 = 5 → (x + 2)² = 9 → x + 2 = ±3 → x = 1 או x = −5.
7. x = ±3 — x² = 9 ⟹ x = ±3.
8. 0 — Δ = b² − 4ac = (−4)² − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0.
9. k = 4 — Δ = (−4)² − 4 · k · 1 = 16 − 4k = 0 → k = 4.
10. x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) — הנוסחה הריבועית: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a), כאשר Δ = b² − 4ac הוא הדיסקרימיננט.
11. (2, 4) ו־(−2, 4) — x² = 4, x = ±2. נקודות חיתוך: (2,4) ו(−2,4).
12. x = 5 או x = −5 — x² = 25, לכן x = ±5.
13. x = ±3 — 2x² = 18 → x² = 9 → x = ±3.
14. x = 5 או x = −5 — x² = 25, לכן x = ±5.
15. (x − y)(x + y)(x² + y²) — x⁴ − y⁴ = (x²)² − (y²)² = (x² − y²)(x² + y²). כעת x² − y² = (x − y)(x + y). לכן x⁴ − y⁴ = (x − y)(x + y)(x² + y²).
16. x = 3 או x = −5 — x+1 = ±4 ⟹ x = 3 או x = −5.
17. 2 ו־3 — x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0. הפתרונות: x = 2 ו־x = 3.
18. x = 2 או x = −3 — פירוק: (x + 3)(x − 2) = 0, לכן x = −3 או x = 2.
19. −2 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 2 — נסמן t=x². (t−1)(t−4)≤0 → 1≤t≤4. לכן 1≤x²≤4 → 1≤|x|≤2 → x∈[−2,−1]∪[1,2].
20. 7 — x² − y² = (x−y)(x+y) = 5·(x+y) = 35. לכן x+y = 7.