משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

20 תרגילי משוואה ריבועית: נוסחת השורשים, דיסקרימיננטה, פירוק לגורמים.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20

תרגול מקיף במשוואות ריבועיות לתלמידי כיתה ט' ולמתחילים בתיכון (4 ו-5 יחידות). כולל פתרון בשלוש שיטות: נוסחת השורשים, פירוק לגורמים, וחילוץ x משותף. התרגילים כוללים את כל שלושת מקרי הדיסקרימיננטה (שני פתרונות, פתרון כפול, אין פתרון). 20 תרגילים עם תשובות נכונות והסבר כשקיים.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 20 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: מגדל המשוואות. הדף מותאם לתלמידי כיתה ט׳ ולוקח כ-50 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-20 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~50 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-20 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

𝑥 אלגברה ומשוואות — תרגול לכיתה ז' · 25 שאלות · ~35 דק'
🎓 סימולציה לקבלה לכיתת מצוינות — כיתה ז' · 50 שאלות · ~75 דק'
🔗 מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח' · 25 שאלות · ~50 דק'
📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט' · 25 שאלות · ~50 דק'

1.גנן שתל צמח גבהו f(t) = t² + 2t סנטימטרים לאחר t שבועות. מה גובהו אחרי 3 שבועות?
(א)21 ס״מ
(ב)9 ס״מ
(ג)11 ס״מ
(ד)15 ס״מ✓
2.נוסחת שורשים: פתרו x² − 6x + 5 = 0.
(א)x = 1 או x = 5✓
(ב)x = −1 או x = −5
(ג)x = 6 או x = 5
(ד)x = 3 ± 2
3.פרקו לגורמים: 9x² − 1
(א)(3x − 1)(3x + 1)✓
(ב)(3x + 1)²
(ג)(3x − 1)²
(ד)(9x − 1)(x + 1)
4.פתרו: x² − 5x + 6 < 0.
(א)x < 3
(ב)2 < x < 3✓
(ג)x > 3 או x < 2
(ד)x > 2
5.פתרו את המשוואה הריבועית: x² − 5x + 6 = 0
(א)x = −2 או x = −3
(ב)x = 2 או x = 3✓
(ג)x = 1 או x = 6
(ד)x = −1 או x = 6
6.פתרו: x² − 5x + 6 = 0.
(א)x=1 או x=6
(ב)x=5 או x=1
(ג)x=2 או x=3✓
(ד)x=−2 או x=−3
7.פתרו בנוסחה: x² − 2x − 3 = 0
(א)x = −3 או x = 1
(ב)x = 2 או x = −3
(ג)x = 3 או x = −1✓
(ד)x = 1 או x = 3
8.פתרו: 2x² = 50
(א)x = 5 או x = −5✓
(ב)x = 25
(ג)x = 10
(ד)x = 5
9.פתרו בנוסחת השורשים: 2x² − 5x + 2 = 0.
(א)x = 5 או x = 2
(ב)x = 2 או x = 0.5✓
(ג)x = 1 או x = 2
(ד)x = −2 או x = −0.5
10.מהי הנקודה שבה גרף x² − 4x + 3 חותך את ציר ה־x?
(א)x = 2 ± √1
(ב)x = 4 ו x = 0
(ג)x = −1 ו x = −3
(ד)x = 1 ו x = 3✓
11.פתרו על ידי פירוק לגורמים: x² − 7x + 12 = 0
(א)x = −3 או x = −4
(ב)x = 3 או x = 4✓
(ג)x = 7 או x = 1
(ד)x = 12 או x = 1
12.פתרו בנוסחה: x² − √2 · x − 1 = 0
(א)x = 1 או x = −1
(ב)x = √2 ± 1
(ג)x = √2 או x = −√2/2
(ד)x = √2 או x = −1/√2✓
13.פתרו את אי-השוויון: x² − x − 6 ≤ 0
(א)−2 ≤ x ≤ 3✓
(ב)x ≤ −3 או x ≥ 2
(ג)−3 ≤ x ≤ 2
(ד)x ≤ −2 או x ≥ 3
14.פתרו: (x − 4)(x + 2) = 0.
(א)x = 4
(ב)x = −2
(ג)x = −4 או x = 2
(ד)x = 4 או x = −2✓
15.פתרו: x² − 5x + 4 > 0.
(א)x < 1 או x > 4✓
(ב)1 < x < 4
(ג)x < 1 בלבד
(ד)x > 4 בלבד
16.שני ברזים יחד ממלאים בריכה ב-6 שעות. הברז הראשון לבד לוקח 5 שעות פחות מהשני. מצאו את זמן כל אחד.
(א)6 שעות ו-11 שעות
(ב)10 שעות ו-15 שעות✓
(ג)8 שעות ו-12 שעות
(ד)5 שעות ו-10 שעות
17.נתון שהישר y = mx + 2 משיק לפרבולה y = x² + 1. מצאו את m.
y = x² + 1
(א)m = ±2
(ב)m = 0✓
(ג)m = 4
(ד)m = 1
18.מצאו נקודות חיתוך: y = x² − 6x + 9 ו־y = x − 3.
y = x − 3y = x² − 6x + 9
(א)נקודה אחת: (3, 0)
(ב)(2, −1) ו-(3, 0)
(ג)(3, 0) ו-(4, 1)✓
(ד)(6, 3) ו-(3, 0)
19.פתרו: y = x² + 2, y = 3x. הפתרונות הם:
y = 3xy = x² + 2
(א)x = 0, y = 0
(ב)אין פתרון ממשי
(ג)x = 3, y = 9
(ד)x = 1, y = 3 ו-x = 2, y = 6✓
20.מצאו את נקודות החיתוך: y = x² − 1 ו־y = −x² + 1.
y = x² − 1y = −x² + 1
(א)(−1, 1) ו־(1, 1)
(ב)אין נקודות חיתוך
(ג)(0, −1) ו־(0, 1)
(ד)(−1, 0) ו־(1, 0)✓

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

מפתח תשובות ופתרונות

15 ס״מ — f(3) = 3² + 2·3 = 9 + 6 = 15 ס״מ.
x = 1 או x = 5 — Δ = 36 − 20 = 16. x = (6 ± 4)/2. x₁ = 5, x₂ = 1.
(3x − 1)(3x + 1) — 9x² − 1 = (3x)² − 1². הפרש ריבועים: (3x − 1)(3x + 1).
2 < x < 3 — (x−2)(x−3) < 0 — הכפל שלילי בין השורשים: 2 < x < 3.
x = 2 או x = 3 — מפרקים לגורמים: (x − 2)(x − 3) = 0. לכן x = 2 או x = 3.
x=2 או x=3 — נחפש שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5: 2 ו-3. (x−2)(x−3)=0. x=2 או x=3.
x = 3 או x = −1 — Δ = 4 + 12 = 16. x = (2 ± 4)/2. x₁ = 3, x₂ = −1.
x = 5 או x = −5 — x² = 25, לכן x = ±5.
x = 2 או x = 0.5 — Δ = 25 − 16 = 9. x = (5 ± 3)/4. x₁ = 8/4 = 2, x₂ = 2/4 = 0.5.
x = 1 ו x = 3 — x² − 4x + 3 = (x−1)(x−3) = 0 → x = 1 או x = 3.
x = 3 או x = 4 — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 12 וסכומם 7: הם 3 ו־4. (x − 3)(x − 4) = 0. x = 3 או x = 4.
x = √2 או x = −1/√2 — Δ = 2 + 4 = 6. x = (√2 ± √6)/2. ניתן לוודא: x = √2 ו-x = −1/√2 מקיימים. (x = (√2 + √6)/2 ≈ √2 וx = (√2 − √6)/2 ≈ −0.707 = −1/√2).
−2 ≤ x ≤ 3 — (x − 3)(x + 2) ≤ 0. שורשים: x = 3 ו־x = −2. הביטוי ≤ 0 בין השורשים: −2 ≤ x ≤ 3.
x = 4 או x = −2 — אם מכפלה = 0 אז אחד הגורמים שווה 0. x − 4 = 0 → x = 4, או x + 2 = 0 → x = −2.
x < 1 או x > 4 — שורשים: x = 1, x = 4. פרבולה פתוחה כלפי מעלה. f > 0 מחוץ לשורשים.
10 שעות ו-15 שעות — 1/x + 1/(x+5) = 1/6 → 6(x+5)+6x = x(x+5) → x²−7x−30=0 → (x−10)(x+3)=0 → x=10.
m = 0 — mx+2=x²+1, x²−mx−1=0. לְמַשֵּק: דיסקרימיננט=0, m²+4=0 — אין פתרון ממשי. נסו: x²+1=mx+2, x²−mx−1=0, Δ=m²+4>0 תמיד — אין משיק ממשי. עבור m=0: x²+1=2, x²=1 — שתי נקודות, לא משיק.
(3, 0) ו-(4, 1) — x²−6x+9=x−3, x²−7x+12=0, (x−3)(x−4)=0. נקודות: (3,0) ו(4,1).
x = 1, y = 3 ו-x = 2, y = 6 — x²+2=3x → x²−3x+2=0 → (x−1)(x−2)=0. x=1,y=3 ו-x=2,y=6.
(−1, 0) ו־(1, 0) — x²−1 = −x²+1, 2x²=2, x²=1, x=±1. y = 1−1=0. נקודות: (−1,0) ו(1,0).