משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. (2, 4) ו־(−2, 4) — x² = 4, x = ±2. נקודות חיתוך: (2,4) ו(−2,4).
2. 6 — x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5) = 0. הפתרונות: x = 1 ו-x = 5. סכום: 1 + 5 = 6.
3. −3 < m < 3 ו-m ≠ 0 — לשני פתרונות: Δ > 0. Δ = 36 − 4m² > 0 → m² < 9 → −3 < m < 3. גם m ≠ 0 (כדי שתהיה משוואה ריבועית).
4. 25 — Δ = b² − 4ac = 9 − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25.
5. −2 ≤ x ≤ 3 — שורשי x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2): x = 3 ו־x = −2. הפרבולה שלילית בין השורשים.
6. −3 — לפי וייאטה: x₁ + x₂ = −b/a = −3/1 = −3.
7. x = ±7 — x² = 49 → x = √49 = 7 או x = −7, כלומר x = ±7.
8. 7 — x² − y² = (x−y)(x+y) = 5·(x+y) = 35. לכן x+y = 7.
9. −4 < x < 2 — x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2). שורשים: −4 ו־2. הפרבולה שלילית בין השורשים: −4 < x < 2.
10. −2 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 2 — נסמן t=x². (t−1)(t−4)≤0 → 1≤t≤4. לכן 1≤x²≤4 → 1≤|x|≤2 → x∈[−2,−1]∪[1,2].
11. x = ±9 — x² = 81 → x = ±√81 = ±9.
12. x = 2 או x = −3 — פירוק: (x + 3)(x − 2) = 0, לכן x = −3 או x = 2.
13. (x − 5)(x + 5) — x² − 25 = x² − 5². הפרש ריבועים: (x − 5)(x + 5).
14. −2 < x < 2 — (x−2)(x+2) < 0 — הכפל שלילי כאשר −2 < x < 2.
15. x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) — זוהי הנוסחה הריבועית הסטנדרטית.
16. Δ = −8; אין פתרונות ממשיים — Δ = 2² − 4 · 3 · 1 = 4 − 12 = −8 < 0. אין פתרונות ממשיים.
17. x = 3 או x = −3 — x² = 9, לכן x = ±3.
18. −2 < x < 2 — (x − 2)(x + 2) < 0. הביטוי שלילי בין השורשים: −2 < x < 2.
19. x > 2 או x < −3 — (x+3)(x−2) > 0 — שניהם חיוביים (x>2) או שניהם שליליים (x<−3).
20. x = ±1 או x = ±2 — t = x²: t² − 5t + 4 = 0 → (t − 1)(t − 4) = 0 → t = 1 או t = 4. x² = 1 → x = ±1; x² = 4 → x = ±2.