משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. (1, 0) ו־(3, 2) — x²−3x+2=x−1, x²−4x+3=0, (x−1)(x−3)=0. נקודות: (1,0) ו(3,2).
2. אין נקודות חיתוך (אין פתרונות ממשיים) — x²−4x+5=x+1, x²−5x+4=0 — המסקנה? דיסקרימיננט: 25−16=9>0 — יש שתי נקודות: x=(5±3)/2, x=4 או x=1. (1,2) ו(4,5).
3. x > 3 או x < −1 — x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). שורשים: 3 ו-−1. הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים: x > 3 או x < −1.
4. x² − 16 — (a + b)(a − b) = a² − b². כאן a = x, b = 4. לכן (x + 4)(x − 4) = x² − 16.
5. x < −1 או x > 1 — עבור x ≥ 1: x − 1 < x² → x² − x + 1 > 0 (תמיד). עבור x < 1: 1 − x < x² → x² + x − 1 > 0 → x < (−1 − √5)/2 (כלומר x < −1 בקירוב). לכן x < −1 או x ≥ 1.
6. x = −2 ± √3 — Δ = 16 − 4 = 12. x = (−4 ± √12)/2 = (−4 ± 2√3)/2 = −2 ± √3.
7. 3 < x < 7 — −x² + 10x − 21 > 0. שורשים: x = 3, x = 7. a < 0: פרבולה חיובית בין השורשים.
8. x = 3 או x = 4 — דיסקרימיננט: 49 − 48 = 1. x = (7 ± 1)/2. x₁ = 4, x₂ = 3.
9. 2 < x < 3 — x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). הביטוי שלילי בין השורשים: 2 < x < 3.
10. 9; 3 — x² + 6x + 9 = (x + 3)². השלמה לריבוע: (6/2)² = 9.
11. x = 2 או x = 3 — פירוק: (x − 2)(x − 3) = 0, לכן x = 2 או x = 3.
12. x = 5 או x = −5 — x² = 25 → x = ±5.
13. 10 שעות ו-15 שעות — 1/x + 1/(x+5) = 1/6 → 6(x+5)+6x = x(x+5) → x²−7x−30=0 → (x−10)(x+3)=0 → x=10.
14. (−√3, 6) ו־(√3, 6) — 2x² = x² + 3, x² = 3, x = ±√3, y = 6.
15. שניהם חיוביים — מכפלת השורשים = c/a = 10 > 0, וסכום השורשים = −b/a = 7 > 0. לכן שניהם חיוביים.
16. (−1, 0) ו־(1, 0) — x²−1 = −x²+1, 2x²=2, x²=1, x=±1. y = 1−1=0. נקודות: (−1,0) ו(1,0).
17. 0 — Δ = b² − 4ac = 36 − 36 = 0. פתרון יחיד.
18. x = (5 ± √13)/2 — Δ = 25 − 12 = 13. x = (5 ± √13)/2.
19. −3 < k < 3 וגם k ≠ 0 — Δ = 36 − 4k² > 0 → k² < 9 → −3 < k < 3. וגם k ≠ 0 (כדי שתהיה ריבועית). לכן: −3 < k < 3 וk ≠ 0.
20. −2 < x < 2 — (x − 2)(x + 2) < 0. הביטוי שלילי בין השורשים: −2 < x < 2.