משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 5 ס״מ — x(x + 7) = 60 → x² + 7x − 60 = 0 → (x + 12)(x − 5) = 0 → x = 5.
2. 6 או −6 — לפתרון אחד: דיסקרימיננט = 0. b² − 4·1·9 = 0 → b² = 36 → b = ±6.
3. x = 1/2 או x = −3 — Δ = 25 + 24 = 49. x = (−5 ± 7)/4. x₁ = 2/4 = 1/2, x₂ = −12/4 = −3.
4. x = 3 או x = −5 — x+1 = ±4 ⟹ x = 3 או x = −5.
5. −2 < x < 2 — (x − 2)(x + 2) < 0. הביטוי שלילי בין השורשים: −2 < x < 2.
6. x = 4 או x = −2 — (x − 4)(x + 2) = 0 ⟹ x = 4 או x = −2.
7. 12 — נסמן רוחב = x, אורך = x+4. x(x+4) = 96 → x²+4x−96 = 0 → (x+12)(x−8) = 0 → x = 8. אורך = 12.
8. שניהם חיוביים — מכפלת השורשים = c/a = 10 > 0, וסכום השורשים = −b/a = 7 > 0. לכן שניהם חיוביים.
9. 7 — לפי נוסחת וייטה, סכום השורשים = −b/a = 7/1 = 7.
10. m = 0 — mx+2=x²+1, x²−mx−1=0. לְמַשֵּק: דיסקרימיננט=0, m²+4=0 — אין פתרון ממשי. נסו: x²+1=mx+2, x²−mx−1=0, Δ=m²+4>0 תמיד — אין משיק ממשי. עבור m=0: x²+1=2, x²=1 — שתי נקודות, לא משיק.
11. 0 — Δ = b² − 4ac = (−4)² − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0.
12. x = (−b ± √(b² − 4c)) / 2 — עבור ax² + bx + c = 0 עם a = 1: x = (−b ± √(b² − 4c)) / 2.
13. x = 2/3 או x = −1 — Δ = 1 + 24 = 25. x = (−1 ± 5)/6. x₁ = 4/6 = 2/3, x₂ = −6/6 = −1.
14. x = 2 או x = −3 — פירוק: (x + 3)(x − 2) = 0, לכן x = −3 או x = 2.
15. −5 < x < −1 — שורשים: x = −1, x = −5. הפרבולה שלילית בין −5 ל-−1.
16. x = 2 או x = 3 — מפרקים: (x − 2)(x − 3) = 0, לכן x = 2 או x = 3.
17. 40 ק״מ/ש — 200/v − 200/(v+20) = 1 → 200·20 = v(v+20) → v²+20v−4000=0 → v=40.
18. x = 2 ו-x = −1 — x² = x+2 → x²−x−2=0 → (x−2)(x+1)=0 → x=2 או x=−1.
19. x = 5 או x = −5 — x² = 25 → x = ±5.
20. 2 — x²−1=3x−3 → x²−3x+2=0 → (x−1)(x−2)=0. שני פתרונות: x=1 ו-x=2.