משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

20 תרגילי משוואה ריבועית: נוסחת השורשים, דיסקרימיננטה, פירוק לגורמים.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20

תרגול מקיף במשוואות ריבועיות לתלמידי כיתה ט' ולמתחילים בתיכון (4 ו-5 יחידות). כולל פתרון בשלוש שיטות: נוסחת השורשים, פירוק לגורמים, וחילוץ x משותף. התרגילים כוללים את כל שלושת מקרי הדיסקרימיננטה (שני פתרונות, פתרון כפול, אין פתרון). 20 תרגילים עם תשובות נכונות והסבר כשקיים.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 20 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: מגדל המשוואות. הדף מותאם לתלמידי כיתה ט׳ ולוקח כ-50 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-20 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~50 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-20 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

𝑥 אלגברה ומשוואות — תרגול לכיתה ז' · 25 שאלות · ~35 דק'
🎓 סימולציה לקבלה לכיתת מצוינות — כיתה ז' · 50 שאלות · ~75 דק'
🔗 מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח' · 25 שאלות · ~50 דק'
📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט' · 25 שאלות · ~50 דק'

1.פתרו מערכת: x² + y² = 25 ו-x + y = 7.
(א)(0, 5) ו-(5, 0)
(ב)(5, 2) ו-(2, 5)
(ג)(3, 4) ו-(4, 3)✓
(ד)(1, 6) ו-(6, 1)
2.עבור אילו ערכי k המשוואה kx² + 6x + k = 0 תהיה לה שני פתרונות ממשיים שונים?
(א)k < 0
(ב)k > 3
(ג)−3 < k < 3 וגם k ≠ 0✓
(ד)k = 3
3.פתרו: x⁴ − 13x² + 36 = 0
(א)x = ±4 או x = ±9
(ב)x = 2 או x = 3
(ג)x = ±2 או x = ±3✓
(ד)x = ±6 או x = ±1
4.למשוואה 2x² + 5x − 3 = 0, אחד הפתרונות הוא x = 0.5. מהו הפתרון השני?
(א)−3✓
(ב)1.5
(ג)−0.5
(ד)3
5.פרקו לגורמים: x⁴ − 16
(א)(x − 2)(x + 2)(x² + 4)✓
(ב)(x² − 4)²
(ג)(x² − 4)(x² + 4)
(ד)(x⁴ − 8)(x⁴ + 8)
6.אמוד פתרונות x² − 5 = 0 ברמת דיוק של עשרית.
(א)±2.5
(ב)±1.7
(ג)±2.0
(ד)±2.2✓
7.פתרו: x² + 2x − 8 < 0.
(א)−4 < x < 2✓
(ב)−2 < x < 4
(ג)x < 2
(ד)x < −4 או x > 2
8.מצאו נקודות חיתוך: y = x² − 4 ו־y = −x² + 4.
y = x² − 4y = −x² + 4
(א)(√4, 0) ו-(−√4, 0)
(ב)(−2, 0) ו-(2, 0)✓
(ג)(0, −4) ו-(0, 4)
(ד)(2, 4) ו-(−2, 4)
9.פתרו: 2x² − 18 = 0.
(א)x = 3
(ב)x = ±3✓
(ג)x = ±9
(ד)x = ±√9
10.מהו מכפלת השורשים של x² − 3x − 10 = 0?
(א)3
(ב)−3
(ג)10
(ד)−10✓
11.פתרו: x² + 3x − 10 = 0 בנוסחת השורשים.
(א)x=5 בלבד
(ב)x=10 או x=1
(ג)x=−2 או x=5
(ד)x=2 או x=−5✓
12.פתרו: 9x² − 25 = 0
(א)x = 25/9
(ב)x = 3 או x = −3
(ג)x = 5 או x = −5
(ד)x = 5/3 או x = −5/3✓
13.פתרו: x² = 25
(א)x = 625
(ב)x = 5
(ג)x = 5 או x = −5✓
(ד)x = 12.5
14.פתרו: (x+1)² = 16.
(א)x = 3 בלבד
(ב)x = 3 או x = −5✓
(ג)x = 15 או x = −17
(ד)x = 4 או x = −4
15.גן ילדים מלבני שמחוסה גדר מ-3 צדדים בלבד (צד 4 הוא קיר). אורך החומר 60 מ׳. מה המידות שנותנות שטח מקסימלי?
(א)10 מ׳ × 40 מ׳
(ב)20 מ׳ × 20 מ׳
(ג)15 מ׳ × 30 מ׳✓
(ד)12 מ׳ × 36 מ׳
16.פתרו: (x − 2)(x + 5) = 0
(א)x = −2 ו x = −5
(ב)x = −2 ו x = 5
(ג)x = 2 ו x = −5✓
(ד)x = 2 ו x = 5
17.כדור נורה בזווית ישרה לגובה. גובהו h(t) = 40t − 5t². מה הגובה המקסימלי?
(א)40 מ׳
(ב)20 מ׳
(ג)160 מ׳
(ד)80 מ׳✓
18.אי-שוויון: x² > 0. עבור אילו ערכים נכון?
(א)כל x > 0
(ב)אין פתרון
(ג)x > 1
(ד)כל x ≠ 0✓
19.פתרו את המערכת: x² + y² = 25, x + y = 7.
(א)(3,4) ו-(4,3)✓
(ב)(0,7) ו-(7,0)
(ג)(5,2) ו-(2,5)
(ד)(1,6) ו-(6,1)
20.מלבן שהיקפו 36 ס״מ ושטחו 80 ס״מ². מה אורך הצלעות?
(א)12 ס״מ ו־6 ס״מ
(ב)9 ס״מ ו־9 ס״מ
(ג)10 ס״מ ו־8 ס״מ✓
(ד)18 ס״מ ו־4 ס״מ

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

מפתח תשובות ופתרונות

(3, 4) ו-(4, 3) — y = 7 − x. x² + (7 − x)² = 25 → 2x² − 14x + 24 = 0 → x² − 7x + 12 = 0 → (x − 3)(x − 4) = 0.
−3 < k < 3 וגם k ≠ 0 — Δ = 36 − 4k² > 0 → k² < 9 → −3 < k < 3. וגם k ≠ 0 (כדי שתהיה ריבועית). לכן: −3 < k < 3 וk ≠ 0.
x = ±2 או x = ±3 — נציב t = x²: t² − 13t + 36 = 0. (t − 4)(t − 9) = 0. t = 4 → x = ±2, t = 9 → x = ±3.
−3 — מכפלת שורשים = c/a = −3/2. x₁ · x₂ = −3/2, ו־0.5 · x₂ = −3/2, לכן x₂ = −3.
(x − 2)(x + 2)(x² + 4) — x⁴ − 16 = (x²)² − 4² = (x² − 4)(x² + 4). כעת x² − 4 = (x − 2)(x + 2). לכן x⁴ − 16 = (x − 2)(x + 2)(x² + 4).
±2.2 — x = ±√5 ≈ ±2.236 ≈ ±2.2.
−4 < x < 2 — שורשים: x = −4, x = 2 (פירוק (x + 4)(x − 2)). הפרבולה שלילית בין −4 ל-2.
(−2, 0) ו-(2, 0) — x²−4=−x²+4, 2x²=8, x²=4, x=±2. y = 4−4 = 0. נקודות: (2,0) ו(−2,0).
x = ±3 — 2x² = 18 → x² = 9 → x = ±3.
−10 — לפי וייטה, מכפלת השורשים = c/a = −10/1 = −10.
x=2 או x=−5 — Δ=9+40=49. x=(−3±7)/2. x=4/2=2 או x=−10/2=−5.
x = 5/3 או x = −5/3 — 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5) = 0. x = 5/3 או x = −5/3.
x = 5 או x = −5 — x = ±√25 = ±5.
x = 3 או x = −5 — x+1 = ±4 ⟹ x = 3 או x = −5.
15 מ׳ × 30 מ׳ — יהי רוחב x. אורך = 60−2x. שטח: x(60−2x) = 60x−2x². מקסימום ב-x = 15. אורך = 30. שטח = 450 מ².
x = 2 ו x = −5 — מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0: x − 2 = 0 → x = 2; x + 5 = 0 → x = −5.
80 מ׳ — t מקסימלי: −b/2a = 40/10 = 4 שניות. h(4) = 160−80 = 80 מ׳.
כל x ≠ 0 — x² ≥ 0 תמיד, ו־x² = 0 רק כש־x = 0. לכן x² > 0 לכל x ≠ 0.
(3,4) ו-(4,3) — y=7−x. x²+(7−x)²=25 → 2x²−14x+24=0 → x²−7x+12=0 → (x−3)(x−4)=0.
10 ס״מ ו־8 ס״מ — אורך + רוחב = 18. x(18 − x) = 80 → x² − 18x + 80 = 0 → (x − 10)(x − 8) = 0.