משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. (x − 3)(x + 3) — x² − 9 = x² − 3². זוהי הפרש ריבועים: a² − b² = (a − b)(a + b). כאן a = x, b = 3. לכן x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
2. −3 ≤ x ≤ 1 — שורשים: x = 1, x = −3. פרבולה עם a > 0 שלילית ובין השורשים: −3 ≤ x ≤ 1.
3. אין נקודות חיתוך (אין פתרונות ממשיים) — x²−4x+5=x+1, x²−5x+4=0 — המסקנה? דיסקרימיננט: 25−16=9>0 — יש שתי נקודות: x=(5±3)/2, x=4 או x=1. (1,2) ו(4,5).
4. 6 או −6 — לפתרון אחד: דיסקרימיננט = 0. b² − 4·1·9 = 0 → b² = 36 → b = ±6.
5. k = 4 — Δ = (−4)² − 4 · k · 1 = 16 − 4k = 0 → k = 4.
6. 7 — x² − y² = (x−y)(x+y) = 5·(x+y) = 35. לכן x+y = 7.
7. x = 1 ו־x = −4 — (x + 4)(x − 1) = 0. x = 1 ו-x = −4.
8. x = −3 — Δ = 36 − 36 = 0. פתרון יחיד: x = −6/2 = −3.
9. x = 2/3 או x = −1 — Δ = 1 + 24 = 25. x = (−1 ± 5)/6. x₁ = 4/6 = 2/3, x₂ = −6/6 = −1.
10. אין פתרונות ממשיים — Δ = 4 − 20 = −16 < 0. אין פתרונות ממשיים.
11. 1 ≤ x ≤ 3 — שורשים: x = 1, x = 3. הביטוי ≤ 0 בין השורשים: 1 ≤ x ≤ 3.
12. 5 ס״מ — נסמן רוחב = x, אורך = x + 3. x(x + 3) = 40 → x² + 3x − 40 = 0 → (x + 8)(x − 5) = 0 → x = 5.
13. k > 4 — הדיסקרימיננט: Δ = 16 − 4k < 0 → k > 4. כאשר k > 4 אין פתרון ממשי.
14. 2 — x²−1=3x−3 → x²−3x+2=0 → (x−1)(x−2)=0. שני פתרונות: x=1 ו-x=2.
15. x = 5 או x = −5 — x² = 25 → x = ±5.
16. x = 5 או x = −5 — x² = 25, לכן x = ±5.
17. x < 1 או x > 4 — שורשים: x = 1, x = 4. פרבולה עם a > 0 חיובית מחוץ לשורשים: x < 1 או x > 4.
18. x = ±9 — x² = 81 → x = ±√81 = ±9.
19. x = 2 או x = 3 — מפרקים: (x − 2)(x − 3) = 0, לכן x = 2 או x = 3.
20. 5 — y = 3² − 4 = 9 − 4 = 5.