משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. x = 3 או x = 1/2 — (2x − 1)(x − 3) = 0. לכן x = 1/2 או x = 3.
2. x = −1 — (x + 1)² = 0 גורר x + 1 = 0, כלומר x = −1.
3. x = ±3 — x² = 9 ⟹ x = ±3.
4. (x − 10)(x + 10) — x² − 100 = x² − 10² = (x − 10)(x + 10).
5. 40 ק״מ/ש — 200/v − 200/(v+20) = 1 → 200·20 = v(v+20) → v²+20v−4000=0 → v=40.
6. (2, 1) — x קודקוד = −4/(2·(−1)) = 2. y = −4 + 8 − 3 = 1. קודקוד (2, 1).
7. k < 3 וגם k ≠ 0 — Δ = 36 − 4k² > 0 → k² < 9 → −3 < k < 3. וגם k ≠ 0 (כדי שתהיה ריבועית). לכן: k < 3 ו-k > −3 וk ≠ 0.
8. x = ±4 — x² = 16 נותן x = 4 או x = −4, כלומר x = ±4.
9. x = 7 או x = 1 — (x − 4)² = 9, x − 4 = ±3, לכן x = 7 או x = 1.
10. 12 מ׳ — x(x − 3) = 108 → x² − 3x − 108 = 0 → (x − 12)(x + 9) = 0 → x = 12.
11. x = 2 או x = 3 — Δ = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1)/2. x₁ = 3, x₂ = 2.
12. Δ = −8; אין פתרונות ממשיים — Δ = 2² − 4 · 3 · 1 = 4 − 12 = −8 < 0. אין פתרונות ממשיים.
13. −1 < k < 2 — Δ = 4k²−4(k+2) < 0 → k²−k−2 < 0 → (k−2)(k+1) < 0 → −1 < k < 2.
14. (x − y)(x + y)(x² + y²) — x⁴ − y⁴ = (x²)² − (y²)² = (x² − y²)(x² + y²). כעת x² − y² = (x − y)(x + y). לכן x⁴ − y⁴ = (x − y)(x + y)(x² + y²).
15. x = −3 — Δ = 36 − 36 = 0. פתרון יחיד: x = −6/2 = −3.
16. x = 3 או x = −5 — x+1 = ±4 ⟹ x = 3 או x = −5.
17. x = 2 ו x = −5 — מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0: x − 2 = 0 → x = 2; x + 5 = 0 → x = −5.
18. x < −2 או x > 3 — שורשים: x = 3 ו-x = −2. הפרבולה פותחת כלפי מעלה, ולכן הביטוי חיובי מחוץ לשורשים.
19. x = −1 או x = −5 — x² + 6x + 5 = 0 → (x + 1)(x + 5) = 0 → x = −1 או x = −5.
20. x < 1 או x > 4 — שורשים: x = 1, x = 4. פרבולה פתוחה כלפי מעלה. f > 0 מחוץ לשורשים.