משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 0 — Δ = b² − 4ac = (−4)² − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0.
2. x = 2 או x = 3 — פירוק: (x − 2)(x − 3) = 0, לכן x = 2 או x = 3.
3. 5 — x² = 25, לכן x = 5.
4. ±7 — x² = 49 נותן x = 7 או x = −7.
5. 25 — Δ = b² − 4ac = 9 − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25.
6. x = 5 או x = −5 — x² = 25 → x = ±5.
7. −10 — לפי וייטה, מכפלת השורשים = c/a = −10/1 = −10.
8. x = 2 או x = 3 — מפרקים: (x − 2)(x − 3) = 0, לכן x = 2 או x = 3.
9. x < −3 או x > 3 — (x − 3)(x + 3) > 0. חיובי מחוץ לשורשים −3 ו-3.
10. −2 ≤ x ≤ 4 — (x−4)(x+2) ≤ 0 — הכפל אי-חיובי בין השורשים: −2 ≤ x ≤ 4.
11. (x − 2)(x + 2)(x² + 4) — x⁴ − 16 = (x²)² − 4² = (x² − 4)(x² + 4). כעת x² − 4 = (x − 2)(x + 2). לכן x⁴ − 16 = (x − 2)(x + 2)(x² + 4).
12. (x − 3)(x + 3) — x² − 9 = x² − 3². זוהי הפרש ריבועים: a² − b² = (a − b)(a + b). כאן a = x, b = 3. לכן x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
13. −4 < x < 2 — שורשים: x = −4, x = 2 (פירוק (x + 4)(x − 2)). הפרבולה שלילית בין −4 ל-2.
14. x = 0 או x = 7 — מוציאים גורם: x(x − 7) = 0. לכן x = 0 או x = 7.
15. −2 < x < 2 — (x − 2)(x + 2) < 0. הביטוי שלילי בין השורשים: −2 < x < 2.
16. 3 ערכים (x = 2, 3, 4) — x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5). פתרון: 1 < x < 5. הערכים השלמים: 2, 3, 4 — סך הכול 3 ערכים.
17. 0 < x < 2 — x² − 4 < 0 → −2 < x < 2. צמצום עם x > 0: 0 < x < 2.
18. −5 < x < −1 — שורשים: x = −1, x = −5. הפרבולה שלילית בין −5 ל-−1.
19. (−2, 0) ו-(2, 0) — x²−4=−x²+4, 2x²=8, x²=4, x=±2. y = 4−4 = 0. נקודות: (2,0) ו(−2,0).
20. 1 ≤ x ≤ 3 — שורשים: x = 1, x = 3. הביטוי ≤ 0 בין השורשים: 1 ≤ x ≤ 3.