משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

20 תרגילי משוואה ריבועית: נוסחת השורשים, דיסקרימיננטה, פירוק לגורמים.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20

תרגול מקיף במשוואות ריבועיות לתלמידי כיתה ט' ולמתחילים בתיכון (4 ו-5 יחידות). כולל פתרון בשלוש שיטות: נוסחת השורשים, פירוק לגורמים, וחילוץ x משותף. התרגילים כוללים את כל שלושת מקרי הדיסקרימיננטה (שני פתרונות, פתרון כפול, אין פתרון). 20 תרגילים עם תשובות נכונות והסבר כשקיים.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 20 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: מגדל המשוואות. הדף מותאם לתלמידי כיתה ט׳ ולוקח כ-50 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-20 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~50 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-20 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

𝑥 אלגברה ומשוואות — תרגול לכיתה ז' · 25 שאלות · ~35 דק'
🎓 סימולציה לקבלה לכיתת מצוינות — כיתה ז' · 50 שאלות · ~75 דק'
🔗 מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח' · 25 שאלות · ~50 דק'
📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט' · 25 שאלות · ~50 דק'

1.מצאו את נקודות החיתוך: y = x² − 4 ו־y = x + 2.
y = x + 2y = x² − 4
(א)(−2, 0) ו־(3, 5)✓
(ב)(2, 0) ו־(−3, −5)
(ג)(0, −4) ו־(3, 5)
(ד)(−1, 1) ו־(3, 5)
2.פתרו: 3x² − 12 = 0
(א)x = 2
(ב)x = ±4
(ג)x = ±√12
(ד)x = ±2✓
3.פתרו: x² = 25
(א)x = 5
(ב)x = 5 או x = −5✓
(ג)x = ±√5
(ד)x = 25
4.פתרו מערכת: x² + y² = 25 ו-x + y = 7.
(א)(0, 5) ו-(5, 0)
(ב)(5, 2) ו-(2, 5)
(ג)(3, 4) ו-(4, 3)✓
(ד)(1, 6) ו-(6, 1)
5.השלימו לריבוע: x² + 6x + ___ = (x + ___)²
(א)9; 6
(ב)3; 3
(ג)9; 3✓
(ד)36; 6
6.מהו הסימן של x² + 1 לכל x ממשי?
(א)תמיד שלילי
(ב)יכול להיות חיובי או שלילי
(ג)שווה לאפס
(ד)תמיד חיובי✓
7.פרקו לגורמים: x² − 9
(א)(x + 3)²
(ב)(x − 3)²
(ג)(x − 9)(x + 1)
(ד)(x − 3)(x + 3)✓
8.פתרו את המערכת: x² + y² = 25, x + y = 7.
(א)(3,4) ו-(4,3)✓
(ב)(0,7) ו-(7,0)
(ג)(5,2) ו-(2,5)
(ד)(1,6) ו-(6,1)
9.השלימו לריבוע: x² + 6x + ___ = (x + ___)².
(א)9; 3✓
(ב)36; 6
(ג)6; 6
(ד)3; 3
10.פתרו: y = x² − 1, y = 3x − 3. כמה נקודות חיתוך?
y = 3x − 3y = x² − 1
(א)2✓
(ב)0
(ג)1
(ד)אינסוף
11.מצאו את נקודות החיתוך: y = x² − 3x + 2 ו־y = x − 1.
y = x − 1y = x² − 3x + 2
(א)(2, 1) ו־(3, 2)
(ב)(1, 0) ו־(2, 1)
(ג)(0, −1) ו־(3, 2)
(ד)(1, 0) ו־(3, 2)✓
12.מהי הנקודה הגבוהה ביותר (מקסימום) של y = −x² + 4x − 3?
y = −x² + 4x − 3
(א)(0, −3)
(ב)(2, 1)✓
(ג)(1, 0)
(ד)(4, 0)
13.עבור אילו ערכי k המשוואה kx² + 6x + k = 0 תהיה לה שני פתרונות ממשיים שונים?
(א)k < 0
(ב)k > 3
(ג)k < 3 וגם k ≠ 0✓
(ד)k = 3
14.מצאו את נקודות החיתוך: y = x² ו־y = x² − 4x + 4.
y = x²y = x² − 4x + 4
(א)אין נקודות חיתוך
(ב)x = 2 (נקודה אחת: (2, 4))✓
(ג)x = 1 ו־x = 3
(ד)x = 0 ו־x = 4
15.כמה פתרונות יש לx² + 4 = 0?
(א)שני פתרונות
(ב)אין פתרון ממשי✓
(ג)פתרון אחד
(ד)אינסוף פתרונות
16.נתון שהישר y = mx + 2 משיק לפרבולה y = x² + 1. מצאו את m.
y = x² + 1
(א)m = ±2
(ב)m = 0✓
(ג)m = 4
(ד)m = 1
17.גינה מלבנית שאורכה גדול מרוחבה ב-4 מ'. שטחה 12 מ²². מה רוחב הגינה?
(א)3 מ'
(ב)6 מ'
(ג)4 מ'
(ד)2 מ'✓
18.פתרו את המשוואה: (x − 2)(x + 5) = 0
(א)x = 2 ו־x = 5
(ב)x = 0
(ג)x = −2 או x = 5
(ד)x = 2 או x = −5✓
19.פתרו את המשוואה הריבועית: x² − 5x + 6 = 0
(א)x = 5 או x = 1
(ב)x = 2 או x = 3✓
(ג)x = −2 או x = −3
(ד)x = 1 או x = 6
20.פרקו לגורמים: 4x² − 16
(א)4(x − 2)(x + 2)✓
(ב)4(x² − 4)
(ג)(4x − 4)(x + 4)
(ד)2(2x − 8)

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

מפתח תשובות ופתרונות

(−2, 0) ו־(3, 5) — x² − 4 = x + 2, x² − x − 6 = 0, (x−3)(x+2) = 0. נקודות: (3,5) ו(−2,0).
x = ±2 — 3x² = 12 → x² = 4 → x = ±2.
x = 5 או x = −5 — x² = 25 → x = ±5.
(3, 4) ו-(4, 3) — y = 7 − x. x² + (7 − x)² = 25 → 2x² − 14x + 24 = 0 → x² − 7x + 12 = 0 → (x − 3)(x − 4) = 0.
9; 3 — x² + 6x + 9 = (x + 3)². השלמה לריבוע: (6/2)² = 9.
תמיד חיובי — x² ≥ 0 לכל x, ולכן x² + 1 ≥ 1 > 0 — תמיד חיובי.
(x − 3)(x + 3) — x² − 9 = x² − 3². זוהי הפרש ריבועים: a² − b² = (a − b)(a + b). כאן a = x, b = 3. לכן x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
(3,4) ו-(4,3) — y=7−x. x²+(7−x)²=25 → 2x²−14x+24=0 → x²−7x+12=0 → (x−3)(x−4)=0.
9; 3 — מחצית המקדם של x הוא 3, ולכן מוסיפים 3² = 9. x² + 6x + 9 = (x + 3)².
2 — x²−1=3x−3 → x²−3x+2=0 → (x−1)(x−2)=0. שני פתרונות: x=1 ו-x=2.
(1, 0) ו־(3, 2) — x²−3x+2=x−1, x²−4x+3=0, (x−1)(x−3)=0. נקודות: (1,0) ו(3,2).
(2, 1) — x קודקוד = −4/(2·(−1)) = 2. y = −4 + 8 − 3 = 1. קודקוד (2, 1).
k < 3 וגם k ≠ 0 — Δ = 36 − 4k² > 0 → k² < 9 → −3 < k < 3. וגם k ≠ 0 (כדי שתהיה ריבועית). לכן: k < 3 ו-k > −3 וk ≠ 0.
x = 2 (נקודה אחת: (2, 4)) — x² = x² − 4x + 4, 0 = −4x + 4, x = 1. נקודה: (1,1). תיקון: 4x=4, x=1, y=1.
אין פתרון ממשי — x² = −4, שורש של מספר שלילי אינו ממשי.
m = 0 — mx+2=x²+1, x²−mx−1=0. לְמַשֵּק: דיסקרימיננט=0, m²+4=0 — אין פתרון ממשי. נסו: x²+1=mx+2, x²−mx−1=0, Δ=m²+4>0 תמיד — אין משיק ממשי. עבור m=0: x²+1=2, x²=1 — שתי נקודות, לא משיק.
2 מ' — יהי רוחב x. אז אורך = x + 4. x(x+4) = 12 ⟹ x² + 4x − 12 = 0 ⟹ (x+6)(x−2) = 0. x = 2 (חיובי).
x = 2 או x = −5 — כאשר מכפלה = 0, אחד הגורמים מתאפס. x − 2 = 0 → x = 2, או x + 5 = 0 → x = −5.
x = 2 או x = 3 — x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0. ולכן x = 2 או x = 3.
4(x − 2)(x + 2) — תחילה הוצאת גורם משותף: 4x² − 16 = 4(x² − 4). לאחר מכן הפרש ריבועים: 4(x − 2)(x + 2).