סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 102 — סדרה חשבונית עם a₁ = 7 ו-d = 5. הנוסחה: aₙ = 7 + (n−1) × 5 = 5n + 2. a₂₀ = 5 × 20 + 2 = 102.
2. 7 — שלב 1 — הכנסה: R(x) = 80x. שלב 2 — לא להפסיד: R(x) ≥ C(x) → 80x ≥ 50x + 200. שלב 3 — 30x ≥ 200 → x ≥ 200/30 = 6.̄6. שלב 4 — מינימום יחידות שלמות: x = 7.
3. 8√2 סמ — שטח = 64 → צלע = √64 = 8 סמ. באלכסון של ריבוע משתמשים בפיתגורס: d² = 8² + 8² = 128. d = √128 = 8√2 סמ.
4. 2^7 — בכפל חזקות עם בסיס זהה - מחברים מעריכים: 3+4=7.
5. 40° — שתי זוויות הבסיס שוות (70°+70°=140°). זווית הראש = 180-140 = 40°
6. x=8 — חסר 7: x=15-7=8.
7. 5 — ממוצע של שני האמצעיים: (4+6)/2=5.
8. 1 — שיפוע: m = (9 − 3) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. נוסחה: y = 2x + b. הצב (1, 3): 3 = 2(1) + b → b = 1. הפונקציה: y = 2x + 1. כש-x = 0: y = 1.
9. 7 — שלב א׳: (−3) × (−5) = 15 שלב ב׳: (−2) × 4 = −8 שלב ג׳: 15 + (−8) + (−3) = 15 − 8 − 3 = 4? רגע — קריאה מחדש: (−5) × (−3) + (−2) × 4 = 15 − 8 = 7. ✓ (ה'חיברו (−3)' הוא חלק מהתיאור הנסיבתי, לא פעולה נפרדת) כלומר: (−5)×(−3) + (−2)×4 = 15 − 8 = 7.
10. 29 ש"ח — שלב 1 — פונקציה: y = 3x + 5. שלב 2 — עבור x=8: y = 3·8 + 5 = 24 + 5 = 29 ש"ח.
11. 3 — עוברים בפעם ראשונה: ⅝ × 32 = 20. נכשלים: 32 − 20 = 12. עוברים בפעם שנייה: ¾ × 12 = 9. לא עוברים גם בשנייה: 12 − 9 = 3.
12. 4/5 — סה״כ = 5 + 3 + 2 = 10. לא ירוקים = 5 + 3 = 8. הסתברות = 8/10 = 4/5.
13. 1620 ש"ח — אחרי עלייה: 1500×1.2=1800. אחרי ירידה: 1800×0.9=1620
14. 52% — שלב 1 — בנות בהתחלה: 60% מ-30 = 18 בנות. שלב 2 — לאחר שעברו 5: נותרו 13 בנות. שלב 3 — סה"כ תלמידים: 30 − 5 = 25. שלב 4 — אחוז בנות: 13/25 = 52%.
15. 40 — ממוצע·כמות=סכום: 8·5=40.
16. 0.7 — P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.5-0.1=0.7.
17. כן, שניהם 24 — וֶתֶר: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10 סמ. שטח: ½ × 6 × 8 = 24 סמ״ר. היקף: 6 + 8 + 10 = 24 סמ. שניהם 24 — כן, שווים (המספרים שווים אם כי יחידות שונות).
18. 15 — x/3 = 5 ⇒ x = 15. (משוואה ושברים)
19. צלע = 4, שטח = 16 — נסמן צלע = a. היקף = 4a; שטח = a². 4a = a² → a² − 4a = 0 → a(a − 4) = 0. a = 0 (לא ממשי) או a = 4. צלע = 4, שטח = 16.
20. 36 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 12 = 0 → x = 6. נקודה A(6, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −12. נקודה B(0, −12). רגל₁ = 6 (לאורך ציר x), רגל₂ = 12 (לאורך ציר y). שטח = ½ × 6 × 12 = 36 יחידות².
21. 2.4 ק״מ מ-A — שלב 1: ניר מגיע ל-B אחרי 3÷6=0.5 שעה. מיה עברה 4×0.5=2 ק״מ מ-A. שלב 2: מרחק ביניהם=3−2=1 ק״מ. מהירות סגירה=6+4=10 קמ״ש. זמן=0.1 שעה. שלב 3: מיה עוברת עוד 4×0.1=0.4 ק״מ ← 2+0.4=2.4 ק״מ מ-A. בדיקה: ניר מ-B ← 3−6×0.1=2.4 ✓.
22. x = 5 — 4x − 3x + 6 = 11. x + 6 = 11. x = 5.
23. 4 — 7 גדול מ-3 בערך מוחלט, הסימן חיובי: 7-3=4
24. (0,5) — ב-x=0: y=5.
25. 90 ש"ח — שלב 1 — הגדרת משתנה: תהי x = כסף לאיתי, אז לרן יש 3x. שלב 2 — משוואה: x + 3x = 480, ולכן 4x = 480, x = 120. שלב 3 — לרן יש 3 · 120 = 360 ש"ח. שלב 4 — 25% מ-360 = 0.25 · 360 = 90 ש"ח.
26. 180 — 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5. LCM = 2² · 3² · 5 = 4 · 9 · 5 = 180.
27. 15 — שלב 1 — סך החלקים: 3 + 5 = 8. שלב 2 — ערך חלק יחיד: 40 ÷ 8 = 5. שלב 3 — מספר הבנים: 3 × 5 = 15.
28. 95 — סכום 4 ציונים: 4 × 85 = 340. סכום נדרש ל-5 ציונים עם ממוצע 87: 5 × 87 = 435. ציון חמישי: 435 − 340 = 95.
29. x>7 — חלק ב-2: x>7.
30. 8 כסף ישנות; 27 נחושת חדשות — מטבעות ישנות: ⅖×60 = 24. מטבעות כסף ישנות: ⅓×24 = 8. מטבעות חדשות: 60−24 = 36. מטבעות נחושת חדשות: ¾×36 = 27.
31. שטח 25, היקף 20 — שטח = 5×5 = 25 סמ"ר. היקף = 4×5 = 20 ס"מ. (גיאומטריה וכפל)
32. ₪80 — 1.2 × x = 96 ⇒ x = 96 ÷ 1.2 = 80. (אחוזים ומשוואה)
33. 6,200 ₪ — ריבית פשוטה לשנה: 5000 × 0.08 = 400 ₪. ל-3 שנים: 400 × 3 = 1,200 ₪. סכום סופי = 5,000 + 1,200 = 6,200 ₪.
34. 60 סמ״ר — הגובה מחצה את הבסיס → חצי בסיס = 5 סמ. פיתגורס: h² + 5² = 13² → h² = 169 − 25 = 144 → h = 12 סמ. שטח = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר.
35. שני — x שלילי, y חיובי - רביע שני.
36. 1/221 — P(מלך ראשון) = 4/52. לאחר שליפת מלך נשארו 51 קלפים ו-3 מלכים → P(מלך שני | ראשון מלך) = 3/51. P(שניהם מלכים) = (4/52) × (3/51) = 12 / 2652 = 1/221.
37. 10 — מכנה משותף 6: 2x/6 + x/6 = 3x/6 = x/2 = 5, x=10. (שברים + משוואה)
38. x = 4 — 3x − 6 + 2x = 14. 5x − 6 = 14. 5x = 20 → x = 4.
39. x=9 — x/3 = 3, ולכן x = 9
40. 91 — סכום 4 מבחנים: 4 × 81 = 324. סכום נדרש ל-5 מבחנים (ממוצע 83): 5 × 83 = 415. ציון במבחן החמישי: 415 − 324 = 91.