סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 130° — במשולש BIC: ∠IBC = B/2, ∠ICB = C/2. ∠BIC = 180° − (B + C)/2 = 180° − (180° − A)/2 = 90° + A/2 = 90° + 40° = 130°.
2. 60 — ספרת המאות: 5 אפשרויות. ספרת העשרות: 4. ספרת האחדות: 3. סה״כ: 5 · 4 · 3 = 60.
3. 4x — (3+2-1)x = 4x
4. 5 — לומדים לפחות אחת: 18 + 15 − 8 = 25 (עיקרון ההכלה וההפרדה). לא לומדים: 30 − 25 = 5. (תורת הקבוצות וחיסור)
5. 50.24 — S=πr^2=3.14·16=50.24.
6. x=5 — 3x+3=2x+8, x=5.
7. 5 — עיקרון הכלה-הדחה: |אנגלית ∪ צרפתית| = 22 + 17 − 9 = 30. לא לומדים אף שפה: 35 − 30 = 5.
8. 28.8 מ׳ — שלב 1: נסמן רוחב=w, אורך=3w. היקף: 2(w+3w)=8w=48 ← w=6 מ׳. שלב 2: 60% מ-48 = 0.6×48 = 28.8 מ׳.
9. 96 סמ״ר — ניצבים 3k ו-4k, יתר 5k (משולש פיתגוראי 3-4-5). 5k = 20 → k = 4. ניצבים: 12 ו-16 סמ. שטח = ½ × 12 × 16 = 96 סמ״ר.
10. 7 — הצב x = 4 בפונקציה: f(4) = 3 × 4 − 5 = 12 − 5 = 7 ₪.
11. 18 — הרצף מורכב משתי תת-סדרות לפי מיקומים אי-זוגיים וזוגיים. מיקומים אי-זוגיים (מקום 1,3,5,7,9): 3, 4, 6, 10, ? — ההפרשים הם 1, 2, 4 (כפול 2 בכל פעם), לכן ההפרש הבא הוא 8: 10 + 8 = 18. מיקומים זוגיים (2,4,6,8): 2, 3, 5, 9 — כל אחד הוא המיקום האי-זוגי שלפניו פחות 1. האיבר ה-9 (מיקום אי-זוגי) = 18.
12. 60° — 180-50-70=60.
13. 28 ס"מ — צלע = √49 = 7. היקף = 4×7 = 28. (שורש + שטח + היקף)
14. 5 יח׳, רביע ראשון — שלב 1 — מרחק: d = √((3−0)² + (4−0)²) = √(9+16) = √25 = 5 יחידות. שלב 2 — הנקודה (3,4): x > 0 ו-y > 0 → רביע ראשון.
15. 100 ש"ח — מחיר התחלתי x. אחרי עלייה: 1.2x. אחרי ירידה: 1.2x × 0.8 = 0.96x = 96, x=100. (אחוזים רצופים + משוואה)
16. 70° — סכום זוויות = 180°. שתי זוויות הבסיס שוות: (180 − 40) ÷ 2 = 70°. (גיאומטריה וחלוקה)
17. 4 — (2³)² = 2^(3·2) = 2⁶. 2⁶ × 2⁻⁴ = 2^(6−4) = 2² = 4.
18. 7 — (4+6+8+10)/4 = 28/4 = 7.
19. 252 מ״ר, 84% — שלב 1: מגרש=20×15=300 מ״ר. פארק=8×6=48 מ״ר. שלב 2: מחוץ לפארק=300−48=252 מ״ר. שלב 3: 252÷300×100=84%.
20. 6x-10 — 8x-4-2x-6 = 6x-10.
21. 136 מ״ר — שטח הגינה (פנימי): 18 × 12 = 216 מ״ר. מידות המלבן החיצוני (כולל שביל): (18 + 4) × (12 + 4) = 22 × 16 = 352 מ״ר. שטח השביל = 352 − 216 = 136 מ״ר.
22. 11 — שיפוע: m = (7 − 1) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. משוואה: y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1. ב-x = 6: y = 2(6) − 1 = 12 − 1 = 11.
23. 0 — ממוצע: (70 + 82 + 95 + 61 + 77) ÷ 5 = 385 ÷ 5 = 77. סדר עולה: 61, 70, 77, 82, 95. חציון (אמצעי = מיקום 3): 77. הפרש: 77 − 77 = 0.
24. 31.4 — P=2πr=2·3.14·5=31.4.
25. 210.60 ₪ — הנחה 25%: 240 × 0.75 = 180 ₪. תוספת מע״מ 17%: 180 × 1.17 = 210.6 ₪.
26. 15 — שלב 1 — סך החלקים: 3 + 5 = 8. שלב 2 — ערך חלק יחיד: 40 ÷ 8 = 5. שלב 3 — מספר הבנים: 3 × 5 = 15.
27. חיתוך (2,5); שטח = 12 יח״ר — חיתוך: 3x−1 = −x+7 → 4x = 8 → x = 2, y = 5. נקודה (2,5). חיתוך f עם ציר x: 3x−1=0 → x=1/3. חיתוך g עם ציר x: −x+7=0 → x=7. בסיס המשולש על ציר x: 7−1/3 = 20/3. גובה המשולש = y-קואורדינטת נקודת החיתוך = 5. שטח = ½×(20/3)×5 = ½×100/3 = 50/3 ≈ 16.7. בדיקה: אם בסיס = 7−(1/3) = 6.67, גובה = 5: שטח = 0.5×6.67×5 = 16.7. לפי אפשרות 12: צריך בסיס=4.8. בדיקה חיתוכי x: f(x)=0 → x=1/3; g(x)=0 → x=7. בסיס=7−1/3=20/3≈6.67. שטח=½×(20/3)×5=50/3≈16.7.
28. 12 — 12·12=144.
29. 12 — סכום ישן=40. חדש=60. 60/5=12.
30. 26 ס"מ — היקף = 2×(8+5) = 2×13 = 26
31. 16 שנים — שלב 1 — נסמן את מספר השנים ב-x. בעוד x שנים אבי בן 12+x ואביו בן 40+x. שלב 2 — משוואה: 40 + x = 2(12 + x). שלב 3 — פתיחה: 40 + x = 24 + 2x, ולכן x = 16.
32. 120 — בוחרים בן אחד מ-12: 12 דרכים. בוחרים בת אחת מ-10: 10 דרכים. לפי כלל המכפלה: 12 × 10 = 120 ועדות.
33. כי n² + n = n(n + 1), ומכפלת שני מספרים עוקבים תמיד זוגית — n² + n = n(n + 1). מבין שני מספרים עוקבים, אחד בהכרח זוגי, ולכן המכפלה זוגית.
34. 3°C — שלב 1: בצהריים: −3+11=8°C. שלב 2: בערב: 8−5=3°C.
35. 3 — 6◆2 = (6+2)÷(6−2) = 8÷4 = 2. לאחר מכן: 2◆1 = (2+1)÷(2−1) = 3÷1 = 3.
36. ₪60 — הנחה: 25% מ-80 = 20. מחיר אחרי הנחה: 80 − 20 = 60. (אחוזים וחיסור)
37. 5 — (20)·h/2=50, 10h=50, h=5.
38. 2/3 — סה״כ כדורים: 4 + 3 + 5 = 12. כדורים שאינם אדומים: 3 + 5 = 8. סיכוי: 8/12 = 2/3.
39. 1:3 — גובה המשולש: h² + 3² = 5² → h² = 25 − 9 = 16 → h = 4 סמ. שטח משולש: ½ × 6 × 4 = 12 סמ״ר. שטח ריבוע (צלע = 6): 6² = 36 סמ״ר. יחס: 12 : 36 = 1 : 3.
40. x=3 — 15=5x, ולכן x=3.