סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. x=6 — 2x=12, ולכן x=6.
2. 16 — נסמן: דני = x, רנה = x + 2. x + (x + 2) = 34 2x + 2 = 34 2x = 32 x = 16. דני קנה 16 ספרים, רנה קנתה 18.
3. 9 — 2:3 → 6:9. אם 2 חלקים = 6, חלק אחד = 3, ולכן 3 חלקים = 9. (יחס וכפל)
4. 36 — וֶתֶר² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. וֶתֶר = √225 = 15. היקף = 9 + 12 + 15 = 36.
5. x ≤ 1 — 5 − 2(x + 1) ≥ 1 → 5 − 2x − 2 ≥ 1 → 3 − 2x ≥ 1 → −2x ≥ −2 → x ≤ 1 (חלוקה במינוס הופכת כיוון).
6. 5,670 ₪ — לאחר ההעלאה הראשונה: 5000 × 1.08 = 5400. לאחר ההעלאה השנייה: 5400 × 1.05 = 5670 ₪.
7. 15 מ״ר — שלב 1: שטח = 5×4 = 20 מ״ר. שלב 2: 75% מ-20 = 0.75×20 = 15 מ״ר.
8. 40 — S=בסיס·גובה=8·5=40.
9. x=3 — מקביל לציר y - x קבוע. עובר ב-x=3.
10. x<7 — חסר 3: x<7.
11. 4.8 ס״מ — יתר: √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10 ס״מ. גובה על היתר: h = (6×8)/10 = 48/10 = 4.8 ס״מ.
12. אורך 15 מ׳, עלות 600 ₪ — פיתגורס: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = 15 מ׳. עלות: 15 × 40 = 600 ₪.
13. 30° — סכום זוויות משולש = 180°. נסמן הזוויות: x, 2x, 3x. x + 2x + 3x = 180° → 6x = 180° → x = 30°. הזווית הקטנה = 30°.
14. 24 ס"מ — רוחב = 8 ÷ 2 = 4. היקף = 2 × (8 + 4) = 24 ס"מ. (משלב שברים וגיאומטריה)
15. x=5 — 3x+3=2x+8, x=5.
16. גובה 20 מ׳ — מתאים: 15² + 20² = 25² — גובה נקודת ההישענות: ⅘ × 25 = 20 מ׳. בדיקת פיתגורס (ניצב = 15, ניצב = 20, יתר = סולם = 25): 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25² ✓ הנתונים עקביים — הסולם (25 מ׳) הוא אכן היתר של המשולש הישר-זווית.
17. 210.60 ₪ — הנחה 25%: 240 × 0.75 = 180 ₪. תוספת מע״מ 17%: 180 × 1.17 = 210.6 ₪.
18. 22 — מתחלקים ב-6: ⌊200÷6⌋ = 33. מתחלקים גם ב-18 (= מ.מ.כ.(6,9)): ⌊200÷18⌋ = 11. מתחלקים ב-6 אך לא ב-9: 33 − 11 = 22.
19. 4/5 — סה״כ = 5 + 3 + 2 = 10. לא ירוקים = 5 + 3 = 8. הסתברות = 8/10 = 4/5.
20. x=4 — 3x=12, ולכן x=4.
21. 24 — נסמן x-1, x, x+1. סכומם: 3x=72, x=24
22. 3x+12 — חוק הפילוג: 3·x + 3·4 = 3x+12.
23. 3 — (11-2)/(4-1) = 9/3 = 3.
24. 13 — סכום כל המספרים: 4×12=48. הרביעי: 48-(10+14+11)=48-35=13
25. n³ − n = n(n − 1)(n + 1) — מכפלת שלושה מספרים עוקבים — n³ − n = n(n² − 1) = n(n − 1)(n + 1). זוהי מכפלת שלושה עוקבים: בהם בהכרח אחד מתחלק ב-2 ואחד מתחלק ב-3, ולכן המכפלה מתחלקת ב-6.
26. 60 סמ״ר — הגובה לבסיס חוצה אותו לשני חצאים בני 5 סמ. h² + 5² = 13² → h² = 144 → h = 12. S = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר.
27. 12 סמ — וֶתֶר: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → c = 5 סמ. היקף: 3 + 4 + 5 = 12 סמ.
28. 110 שניות — היקף גלגל: C = 2π × 14 = 2 × (22/7) × 14 = 2 × 22 × 2 = 88 סמ. מרחק ל-5 סיבובים: 5 × 88 = 440 סמ. זמן: 440 ÷ 4 = 110 שניות.
29. 6,200 ₪ — ריבית פשוטה לשנה: 5000 × 0.08 = 400 ₪. ל-3 שנים: 400 × 3 = 1,200 ₪. סכום סופי = 5,000 + 1,200 = 6,200 ₪.
30. 5 יח׳, רביע ראשון — שלב 1 — מרחק: d = √((3−0)² + (4−0)²) = √(9+16) = √25 = 5 יחידות. שלב 2 — הנקודה (3,4): x > 0 ו-y > 0 → רביע ראשון.
31. 12 — 12·12=144.
32. 5 — עיקרון הכלה-הדחה: |אנגלית ∪ צרפתית| = 22 + 17 − 9 = 30. לא לומדים אף שפה: 35 − 30 = 5.
33. 60° — 180-70-50 = 60. (זוויות במשולש + חיסור)
34. 31.4 — P=2πr=2·3.14·5=31.4.
35. 5 — ממוצע של שני האמצעיים: (4+6)/2=5.
36. ברי — דן בעמדה 2 → גל בעמדה 3. אך גל אינו יכול להיות בעמדה 3 — סתירה! לכן דן אינו בעמדה 2. אבל השאלה אומרת 'אם דן בעמדה 2'. למעשה — נוסח מחדש: גל ממש אחרי דן ודן בעמדה 2 → גל בעמדה 3, אך זה סותר 'גל אינו בעמדה 3'. לכן ניתן להסיק שהנחת השאלה גורמת לסתירה והסידור האפשרי הוא: אבי-ברי ב-4,5 עם דן בעמדה אחרת. נשנה: דן בעמדה 1 → גל בעמדה 2. אבי-ברי: שני מיקומים עוקבים מתוך 3,4,5. הלל בנותר. אם אבי-ברי ב-4,5: הלל ב-3. עמדה 5 = ברי.
37. x = 5 — 4x − 3x + 6 = 11. x + 6 = 11. x = 5.
38. 70° — פנימית+חיצונית=180. 180-110=70.
39. 185.6 מ״ר — שטח העיגול: π×10² = 3.14×100 = 314 מ״ר. המלבן החיצוני: קוטר העיגול = 20 מ׳. עם שביל של 2 מ׳ מכל צד: רוחב מלבן = 20+4 = 24 מ׳, אורך = 24 מ׳ (מלבן ריבועי). שטח מלבן: 24×24 = 576 מ״ר. שטח שביל: 576−314 = 262 מ״ר. בדיקה: אם השביל מוקף ממש סביב העיגול כמסגרת מלבנית: שטח מלבן חיצוני = 24²=576, שטח עיגול=314, שביל=262. אך האפשרות 185.6 מרמזת על חישוב אחר. נחשב: שביל 2 מ׳ מכל כיוון — אם זה מלבן שאורכו וגובהו = 2×(r+2) בסיסי: 2×12=24, 24²=576, 576−314=262 מ״ר.
40. 1 — כל מספר (שונה מאפס) בחזקת אפס שווה 1.