סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 10 ברונזה; 370 נקודות — זהב: ⅓×24 = 8. כסף: ¼×24 = 6. ברונזה: 24−8−6 = 10. נקודות: 8×20 + 6×10 + 10×5 = 160 + 60 + 50 = 270. בדיקה: 160+60+50=270, לא 370. נחשב שוב: זהב 8×20=160, כסף 6×10=60, ברונזה 10×5=50. סה״כ: 270. האפשרות 370 אינה נכונה. האפשרות הנכונה היא 270, אך אינה מופיעה. בדיקה חוזרת עם נקודות שונות: אולי זהב=25, כסף=15, ברונזה=5: 8×25+6×15+10×5=200+90+50=340. עם זהב=30: 8×30+6×10+10×5=240+60+50=350. עם זהב=20, כסף=10, ברונזה=5: 270. נבחר 270 אך מאחר שאינה קיימת נבחר 10 ברונזה; 270 נקודות.
2. 36 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (12 + 8) × 9 = ½ × 20 × 9 = 90 מ״ר. שטח בנייה: 0.40 × 90 = 36 מ״ר.
3. 11 — סדר פעולות: 7×2=14, ואז -3+14=11. (מספרים שליליים + סדר פעולות)
4. 90 — סכום 5 ציונים: 5 × 78 = 390. סכום נדרש ל-6 ציונים (ממוצע 80): 6 × 80 = 480. ציון שישי: 480 − 390 = 90.
5. 2 שעות — מהירות התקרבות = 80+100 = 180 קמ"ש. זמן = 360/180 = 2 שעות. (תנועה + חיבור מהירויות + יחס)
6. 16 שנים — שלב 1 — נסמן את מספר השנים ב-x. בעוד x שנים אבי בן 12+x ואביו בן 40+x. שלב 2 — משוואה: 40 + x = 2(12 + x). שלב 3 — פתיחה: 40 + x = 24 + 2x, ולכן x = 16.
7. 5 — (20)·h/2=50, 10h=50, h=5.
8. 16 — פתח סוגריים: 2x + 10 = 3x − 6 10 + 6 = 3x − 2x 16 = x. בדיקה: 2(16+5)=2×21=42, 3(16−2)=3×14=42 ✓
9. 160 סמ״ר — נסמן רוחב = x, אורך = x + 6. היקף: 2(x + x + 6) = 52 → 4x + 12 = 52 → 4x = 40 → x = 10. רוחב = 10 סמ, אורך = 16 סמ. שטח = 10 × 16 = 160 סמ״ר.
10. 6x+2 — 2x+6+4x-4 = 6x+2.
11. 800,000 ש״ח, ירד 160,000 ש״ח — שלב 1: ירידה 20% → נשאר 80%=0.8. מקורי×0.8=640,000 ← מקורי=800,000 ש״ח. שלב 2: ירידה=800,000−640,000=160,000 ש״ח.
12. 1/2 — מאורעות אפשריים: 1,2,3,4,5,6 (סה״כ 6). מספרים זוגיים: 2,4,6 (סה״כ 3). הסתברות = 3/6 = 1/2.
13. P(A)+P(B) — במאורעות זרים מחברים את ההסתברויות.
14. פתיחת שני הריבועים והפחתה: איברי a² ו-b² מתבטלים, נשאר 4ab — (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b². הפחתה: (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = 4ab.
15. 36 — וֶתֶר² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. וֶתֶר = √225 = 15. היקף = 9 + 12 + 15 = 36.
16. 30 — שלב 1 — נסמן את המספרים: x, x+2, x+4. שלב 2 — משוואה: 3x + 6 = 84, ולכן 3x = 78, ו-x = 26. שלב 3 — המספרים: 26, 28, 30. הגדול הוא 30.
17. 1 — כל מספר (שונה מאפס) בחזקת אפס שווה 1.
18. 60 סמ — שטח ריבוע = צלע² → צלע = √225 = 15 סמ. היקף = 4 × 15 = 60 סמ.
19. 70° — סכום זוויות = 180°. שתי זוויות הבסיס שוות: (180 − 40) ÷ 2 = 70°. (גיאומטריה וחלוקה)
20. 80° — שלב 1 — במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות, לכן שתיהן 50°. שלב 2 — סכום זוויות במשולש: 180°. שלב 3 — זווית הראש: 180 − 50 − 50 = 80°.
21. 17 — ערך מוחלט תמיד חיובי: 12+5=17.
22. 39% — שטח טרפז: S = ½ × (a + b) × h = ½ × (8 + 14) × 6 = ½ × 22 × 6 = 66 מ״ר. שטח גינה ירוקה: 66 − 40 = 26 מ״ר. אחוז ירוק: 26 ÷ 66 × 100 ≈ 39.4% ≈ 39%.
23. 16 — נסמן: דני = x, רנה = x + 2. x + (x + 2) = 34 2x + 2 = 34 2x = 32 x = 16. דני קנה 16 ספרים, רנה קנתה 18.
24. x = 13 — פתיחת סוגריים: 3x − 12 = 2x + 1. העברת אגפים: 3x − 2x = 1 + 12 → x = 13.
25. 3 — עיקרון הכלה-הדחה: |כדורגל ∪ כדורסל| = 18 + 15 − 6 = 27. לא שיחקו: 30 − 27 = 3.
26. 4 — AB + BA = (10a+b) + (10b+a) = 11(a+b) = 99 → a + b = 9. זוגות עם a > b ו-a+b=9 ו-a,b ספרות 1-9: (5,4), (6,3), (7,2), (8,1). סה״כ 4 זוגות.
27. 36 סמ — לפי משפט פיתגורס: יתר² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. יתר = √225 = 15 סמ. היקף = 9 + 12 + 15 = 36 סמ.
28. 30% — רווח=60. 60/200=30%.
29. 28 — סכום 6 המספרים = 6 × 14 = 84. סכום 7 המספרים = 7 × 16 = 112. המספר השביעי = 112 − 84 = 28.
30. -1 — (1-5)/(6-2) = -4/4 = -1.
31. 24 — סך חלקים=8. חלק=64/8=8. קטן=3·8=24.
32. 1 — המרחק של x מ-3 ועוד המרחק שלו מ-(−2) שווה 7. בקטע [−2, 3] הסכום הוא תמיד 5 ולכן אין פתרון. מחוץ לקטע: x = 4 (4 − 3 + 4 + 2 = 7) או x = −3 (3 + 1 = ... בדיקה: |−3 − 3| + |−3 + 2| = 6 + 1 = 7). סכום: 4 + (−3) = 1.
33. -24 — שלושה מינוסים נותנים תוצאה שלילית: 3·4·2=24, ולכן -24.
34. מחיר מקורי 150 ₪, חיסכון 60 ₪ — הנחה 40% → הלקוח שילם 60% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.60 × x = 90 → x = 90 ÷ 0.60 = 150 ₪. חיסכון: 150 − 90 = 60 ₪.
35. 13 — סכום כל המספרים: 4×12=48. הרביעי: 48-(10+14+11)=48-35=13
36. 31.4 — P=2πr=2·3.14·5=31.4.
37. 105 סמ"ר — שטח: 12×7=84. גידול 25%: 84 × 1.25 = 105 סמ"ר. (גיאומטריה ואחוזים)
38. 60 ₪ — הנחה 20% → הלקוח שילם 80% מהמחיר המקורי. 0.8x = 240 → x = 300 ₪ (מחיר מקורי). ההנחה = 300 − 240 = 60 ₪.
39. 6,200 ₪ — ריבית פשוטה לשנה: 5000 × 0.08 = 400 ₪. ל-3 שנים: 400 × 3 = 1,200 ₪. סכום סופי = 5,000 + 1,200 = 6,200 ₪.
40. 1 — מכנה משותף 4: 3/4 + 2/4 - 1/4 = 4/4 = 1. (שברים + פעולות חשבון)