סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. ירד 4% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה 20%: 100 × 1.2 = 120 ₪. לאחר ירידה 20%: 120 × 0.8 = 96 ₪. שינוי: (96 − 100) ÷ 100 = −4% → ירד 4%.
2. 160 ₪ — הנחה 25% → הלקוח שילם 75% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.75x = 120 → x = 120 ÷ 0.75 = 160 ₪.
3. גבוה ב-3.5% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה של 15%: 100 × 1.15 = 115 ₪. לאחר ירידה של 10%: 115 × 0.9 = 103.5 ₪. שינוי: 103.5 − 100 = +3.5 ₪ → עלייה של 3.5% מהמחיר המקורי.
4. 4 — |3-10|=7, |2-5|=3, ולכן 7-3=4.
5. 10 מ׳ — שלב 1 — שטח משולש = (1/2) × ניצב₁ × ניצב₂: 24 = (1/2) × 8 × ניצב₂ 24 = 4 × ניצב₂ ניצב₂ = 6 מ׳. שלב 2 — משפט פיתגורס: יתר² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 יתר = √100 = 10 מ׳.
6. −56 — (−4)³ = (−4) × (−4) × (−4) = 16 × (−4) = −64. √64 = 8. סה״כ: −64 + 8 = −56.
7. 6 — לפי עקרון ההכלה וההדחה: |A ∪ B| = 18 + 14 − 8 = 24 תלמידים לומדים לפחות שפה אחת. לא לומדים אף שפה: 30 − 24 = 6.
8. 7.5 — ריבית שנתית: 6% × 4,000 = 240 ₪. ריבית נדרשת: 5,800 − 4,000 = 1,800 ₪. שנים: 1,800 ÷ 240 = 7.5 שנים.
9. 1/221 — P(מלך ראשון) = 4/52. לאחר שליפת מלך נשארו 51 קלפים ו-3 מלכים → P(מלך שני | ראשון מלך) = 3/51. P(שניהם מלכים) = (4/52) × (3/51) = 12 / 2652 = 1/221.
10. חברה A עדיפה ב-7 ₪ — חברה A: 5×5 + 2×1 = 25 + 2 = 27 ₪. חברה B: 3×5 + 5×1 = 15 + 5 = 20 ₪. הפרש: 27 − 20 = 7 ₪ לטובת חברה A.
11. 2:3 — מחלקים את שני הצדדים ב-6: 12:18 = 2:3
12. 17 — (−2)⁴ = 16 (חזקה זוגית → תוצאה חיובית). (−3)² = 9. 2³ = 8. 16 + 9 − 8 = 17.
13. 5 — עיקרון הכלה-הדחה: |אנגלית ∪ צרפתית| = 22 + 17 − 9 = 30. לא לומדים אף שפה: 35 − 30 = 5.
14. 32 — שטח טרפז = (6+10)/2 × 4 = 8 × 4 = 32. (נוסחת טרפז + חיבור + כפל)
15. 420 ₪ — שטח מקבילית = בסיס × גובה = 14 × 6 = 84 מ״ר. עלות דשא: 84 × 5 = 420 ₪.
16. 3°C — שלב 1: בצהריים: −3+11=8°C. שלב 2: בערב: 8−5=3°C.
17. 0 — -8+3=-5, ואז -5-(-5)=0.
18. 10 — f(3) = 2·3 + 1 = 7. f(−2) = 2·(−2) + 1 = −3. f(3) − f(−2) = 7 − (−3) = 10.
19. 2/15 — סיכוי לאדום ראשון: 4/10 = 2/5. נשארו 9 כדורים, 3 אדומים. סיכוי לאדום שני: 3/9 = 1/3. סיכוי כולל: (2/5) × (1/3) = 2/15.
20. 4 — 7 גדול מ-3 בערך מוחלט, הסימן חיובי: 7-3=4
21. 4 — (2³)² = 2^(3·2) = 2⁶. 2⁶ × 2⁻⁴ = 2^(6−4) = 2² = 4.
22. x = 4 — 3x − 6 + 2x = 14. 5x − 6 = 14. 5x = 20 → x = 4.
23. 24 ס"מ — רוחב = 8 ÷ 2 = 4. היקף = 2 × (8 + 4) = 24 ס"מ. (משלב שברים וגיאומטריה)
24. 14 — לפחות אחת=12+8-4=16. אף אחת=30-16=14.
25. 2 שעות — מהירות התקרבות = 80+100 = 180 קמ"ש. זמן = 360/180 = 2 שעות. (תנועה + חיבור מהירויות + יחס)
26. שני — x שלילי, y חיובי - רביע שני.
27. 105 סמ"ר — שטח: 12×7=84. גידול 25%: 84 × 1.25 = 105 סמ"ר. (גיאומטריה ואחוזים)
28. 19 — 3x-6=2x+4, x=10. 2×10-1=19. (פתיחת סוגריים + משוואה + הצבה)
29. 4 שעות — שלב 1 — ברז 1 ממלא 1/6 לשעה, ברז 2 ממלא 1/12 לשעה. שלב 2 — קצב משולב: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 לשעה. שלב 3 — זמן מילוי: 1 ÷ (1/4) = 4 שעות.
30. 5 — כאשר שני עצמים נעים בכיוונים מנוגדים, המרחק ביניהם גדל בקצב של סכום מהירויותיהם. (5 + 3) × t = 40 → 8t = 40 → t = 5 שעות.
31. 1/6 — מספרים אי-זוגיים: 1, 3, 5. מספרים גדולים מ-4: 5, 6. החיתוך: רק 5. P = 1/6.
32. 486 — a₆ = 2 × 3^(6−1) = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486.
33. 6 שנים; 1,200 ₪ ריבית — 6,200 = 5,000 + 200x → 200x = 1,200 → x = 6 שנים. ריבית שנצברה: 6,200 − 5,000 = 1,200 ₪.
34. חוצה ציר y ב-(0, 4); f(3) = −2 — חיתוך ציר y: הצב x = 0: f(0) = −2×0 + 4 = 4. נקודת חיתוך: (0, 4). ערך ב-x = 3: f(3) = −2×3 + 4 = −6 + 4 = −2.
35. 1/3 — סיכוי לכחול ראשון: 6/10. נשארים 9 כדורים, מהם 5 כחולים. סיכוי לכחול שני: 5/9. סיכוי כולל: (6/10) × (5/9) = 30/90 = 1/3.
36. 6x-10 — 8x-4-2x-6 = 6x-10.
37. 4/5 — סה״כ = 5 + 3 + 2 = 10. לא ירוקים = 5 + 3 = 8. הסתברות = 8/10 = 4/5.
38. x=5 — 3x+3=2x+8, x=5.
39. 40 — בן=x, אב=5x. בעוד 8: 5x+8 = 3(x+8) ⟹ 5x+8 = 3x+24 ⟹ 2x=16, x=8. אב=5×8=40. בדיקה: 48 = 3×16 ✓. (משוואה + יחסים + הצבה)
40. x = 5 — שלב 1 — הפחת 7 משני האגפים: 3x = 15. שלב 2 — חלק ב-3: x = 5.