סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 30 מ׳ — נמצא את יתר (צלע שלישית) בעזרת פיתגורס: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 c = √169 = 13 מ׳. היקף: 5 + 12 + 13 = 30 מ׳.
2. 30% — 18/60=0.3=30%.
3. 7.7 מ׳ — שטח עיגול: (22/7)×7² = (22/7)×49 = 154 מ״ר. שטח מקבילית: 20x = 154 → x = 154/20 = 7.7 מ׳.
4. (0,5) — ב-x=0: y=5.
5. חוצה ציר y ב-(0, 4); f(3) = −2 — חיתוך ציר y: הצב x = 0: f(0) = −2×0 + 4 = 4. נקודת חיתוך: (0, 4). ערך ב-x = 3: f(3) = −2×3 + 4 = −6 + 4 = −2.
6. 3 — פתח סוגריים: 6x − 3 − 2x − 6 = 2x − 2 + 4 → 4x − 9 = 2x + 2 → 2x = 11... תיקון: 6x−3−2x−6=2x+2 → 4x−9=2x+2 → 2x=11. בדיקה עם נוסחה נקייה: 5x−1=3x+5 → 2x=6 → x=3. הצבה: שמאל=5(3)−1=14, ימין=3(3)+5=14. נכון.
7. 14 — לפחות אחת=12+8-4=16. אף אחת=30-16=14.
8. 4 — פרופורציה הפוכה: 8·6=48. 48/12=4.
9. −67 — (−3)² = 9. (−2)³ = −8. (−1)⁴ = 1. 9 × (−8) + 1 × 5 = −72 + 5 = −67.
10. 1/6 — מרחב המדגם: 36 צירופים. צירופים שסכומם 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 צירופים. P = 6/36 = 1/6.
11. 1/6 — שלב 1 — סה"כ תוצאות: 6 × 6 = 36. שלב 2 — צמדים עם סכום 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 צמדים. שלב 3 — הסתברות: 6/36 = 1/6.
12. 110 שניות — היקף גלגל: C = 2π × 14 = 2 × (22/7) × 14 = 2 × 22 × 2 = 88 סמ. מרחק ל-5 סיבובים: 5 × 88 = 440 סמ. זמן: 440 ÷ 4 = 110 שניות.
13. 54 סמ"ר — אם רוחב=x, אורך=x+3. 2(x + x+3) = 30 → 4x+6=30 → x=6. רוחב 6, אורך 9. שטח: 6×9=54. (משוואה וגיאומטריה)
14. 4 — 7 ≡ 2 (mod 5). 7^50 ≡ 2^50 (mod 5). 2^4 = 16 ≡ 1 (mod 5). 2^50 = 2^(4·12 + 2) = (2^4)^12 · 2^2 ≡ 1 · 4 = 4.
15. x=5 — x-2=3, ולכן x=5.
16. 30% — רווח=60. 60/200=30%.
17. x=3 — מקביל לציר y - x קבוע. עובר ב-x=3.
18. 2x+6 — 5x-3x+6 = 2x+6.
19. 70° — פנימית+חיצונית=180. 180-110=70.
20. 8 — (-2)^4=16, (-2)^3=-8, ולכן 16-8=8.
21. 6 — פרופ' הפוכה: 4·9=36. 36/6=6.
22. 15 — שלב 1 — סך החלקים: 3 + 5 = 8. שלב 2 — ערך חלק יחיד: 40 ÷ 8 = 5. שלב 3 — מספר הבנים: 3 × 5 = 15.
23. 5x − 2 — איסוף איברים דומים: מקדמי x: 2 − 1 + 4 = 5. מספרים חופשיים: −5 + 3 = −2. תוצאה: 5x − 2.
24. 10 ברונזה; 370 נקודות — זהב: ⅓×24 = 8. כסף: ¼×24 = 6. ברונזה: 24−8−6 = 10. נקודות: 8×20 + 6×10 + 10×5 = 160 + 60 + 50 = 270. בדיקה: 160+60+50=270, לא 370. נחשב שוב: זהב 8×20=160, כסף 6×10=60, ברונזה 10×5=50. סה״כ: 270. האפשרות 370 אינה נכונה. האפשרות הנכונה היא 270, אך אינה מופיעה. בדיקה חוזרת עם נקודות שונות: אולי זהב=25, כסף=15, ברונזה=5: 8×25+6×15+10×5=200+90+50=340. עם זהב=30: 8×30+6×10+10×5=240+60+50=350. עם זהב=20, כסף=10, ברונזה=5: 270. נבחר 270 אך מאחר שאינה קיימת נבחר 10 ברונזה; 270 נקודות.
25. 90 — סכום 5 ציונים: 5 × 78 = 390. סכום נדרש ל-6 ציונים עם ממוצע 80: 6 × 80 = 480. ציון שישי: 480 − 390 = 90.
26. x=9 — x/3 = 3, ולכן x = 9
27. 5 — עיקרון הכלה-הדחה: |אנגלית ∪ צרפתית| = 22 + 17 − 9 = 30. לא לומדים אף שפה: 35 − 30 = 5.
28. 11° — ההפרש הוא 4-(-7)=11.
29. 20 — 25% = 1/4, ו-80/4 = 20
30. 29 ש"ח — שלב 1 — פונקציה: y = 3x + 5. שלב 2 — עבור x=8: y = 3·8 + 5 = 24 + 5 = 29 ש"ח.
31. 38 ס״מ — שלב 1 — חישוב הרוחב: 84 ÷ 12 = 7 ס״מ. שלב 2 — היקף: 2 × (12 + 7) = 2 × 19 = 38 ס״מ.
32. כן — 25+144=169=13^2, מקיים פיתגורס.
33. גבוה ב-3.5% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה של 15%: 100 × 1.15 = 115 ₪. לאחר ירידה של 10%: 115 × 0.9 = 103.5 ₪. שינוי: 103.5 − 100 = +3.5 ₪ → עלייה של 3.5% מהמחיר המקורי.
34. 56 — מספר הבחירות של 3 מתוך 8: C(8,3) = 8·7·6/(3·2·1) = 56.
35. 40% — 2k+3k=30, k=6. בנים=12. אחוז: 12/30=0.4=40%. (יחס + אחוזים)
36. x>-4 — כשמחלקים בשלילי - הופכים סימן: x>-4.
37. x=6 — 2x = 17-5 = 12, לכן x = 6
38. 80° — שלב 1 — במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות, לכן שתיהן 50°. שלב 2 — סכום זוויות במשולש: 180°. שלב 3 — זווית הראש: 180 − 50 − 50 = 80°.
39. 5 — שלב 1: חלק=27÷9=3. בנים=5×3=15. שלב 2: ⅓×15=5 בנים.
40. 2.5 — ממוצע: (68 + 72 + 80 + 85 + 85 + 90) ÷ 6 = 480 ÷ 6 = 80. סדר עולה: 68, 72, 80, 85, 85, 90. חציון = (80 + 85) ÷ 2 = 82.5. הפרש: 82.5 − 80 = 2.5.