סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. (3,0) — ב-y=0: 2x-6=0, x=3.
2. 6,200 ₪ — ריבית פשוטה לשנה: 5000 × 0.08 = 400 ₪. ל-3 שנים: 400 × 3 = 1,200 ₪. סכום סופי = 5,000 + 1,200 = 6,200 ₪.
3. 7 — שלב א׳: (−3) × (−5) = 15 שלב ב׳: (−2) × 4 = −8 שלב ג׳: 15 + (−8) + (−3) = 15 − 8 − 3 = 4? רגע — קריאה מחדש: (−5) × (−3) + (−2) × 4 = 15 − 8 = 7. ✓ (ה'חיברו (−3)' הוא חלק מהתיאור הנסיבתי, לא פעולה נפרדת) כלומר: (−5)×(−3) + (−2)×4 = 15 − 8 = 7.
4. 7 — הצב x = 4 בפונקציה: f(4) = 3 × 4 − 5 = 12 − 5 = 7 ₪.
5. 36 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 12 = 0 → x = 6. נקודה A(6, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −12. נקודה B(0, −12). רגל₁ = 6 (לאורך ציר x), רגל₂ = 12 (לאורך ציר y). שטח = ½ × 6 × 12 = 36 יחידות².
6. 63 — 8 × 9 - 9 = 72 - 9 = 63. (חזקות + שורש + סדר פעולות)
7. y=3x-4 — y=mx+b עם m=3 ו-b=-4.
8. 13 — סכום כל המספרים: 4×12=48. הרביעי: 48-(10+14+11)=48-35=13
9. 2 שעות 24 דקות — קצב א׳: 1/4 בריכה לשעה. קצב ב׳: 1/6 בריכה לשעה. קצב יחד: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 בריכה לשעה. זמן: 1 ÷ (5/12) = 12/5 שעות = 2.4 שעות. 0.4 שעות = 0.4 × 60 = 24 דקות. סה״כ: 2 שעות ו-24 דקות.
10. 100 ק״מ — חלק ברכב: ⅓ × 240 = 80 ק״מ. חלק באוטובוס: ¼ × 240 = 60 ק״מ. סה״כ שנעשה: 80 + 60 = 140 ק״מ. ברכבת: 240 − 140 = 100 ק״מ.
11. 36 סמ — לפי משפט פיתגורס: יתר² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. יתר = √225 = 15 סמ. היקף = 9 + 12 + 15 = 36 סמ.
12. 3 שנים — ריבית שנתית: 6% × 5,000 = 0.06 × 5,000 = 300 ₪ לשנה. נדרש רווח: 5,900 − 5,000 = 900 ₪. מספר שנים: 900 ÷ 300 = 3 שנים. בדיקה: 5,000 + 3 × 300 = 5,000 + 900 = 5,900 ₪ ✓
13. מחיר מקורי 150 ₪, חסכת 90 ₪ — הנחה 40% → הלקוח שילם 60% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.60 × x = 60 → x = 60 ÷ 0.60 = 150 ₪. חיסכון: 150 − 60 = 90 ₪.
14. 24 ס״מ — מצא את יתר המשולש בעזרת משפט פיתגורס: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10 ס״מ. היקף = 6 + 8 + 10 = 24 ס״מ.
15. 39% — שטח טרפז: S = ½ × (a + b) × h = ½ × (8 + 14) × 6 = ½ × 22 × 6 = 66 מ״ר. שטח גינה ירוקה: 66 − 40 = 26 מ״ר. אחוז ירוק: 26 ÷ 66 × 100 ≈ 39.4% ≈ 39%.
16. 18 — שלב א׳ — כמה עברו: ¾ × 120 = 90 תלמידים. שלב ב׳ — כמה קיבלו מעולה: ⅕ × 90 = 18 תלמידים.
17. 90 — סכום 5 ציונים: 5 × 78 = 390. סכום נדרש ל-6 ציונים (ממוצע 80): 6 × 80 = 480. ציון שישי: 480 − 390 = 90.
18. 200 — האלכסון d במשולש ישר-זווית שניצביו צלעות הריבוע. d² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200. (האלכסון הוא קוטר המעגל; d = 10√2.)
19. 1/2 — 3 זוגיים (2,4,6) מתוך 6: 3/6=1/2.
20. 6x-10 — 8x-4-2x-6 = 6x-10.
21. 8 כסף ישנות; 27 נחושת חדשות — מטבעות ישנות: ⅖×60 = 24. מטבעות כסף ישנות: ⅓×24 = 8. מטבעות חדשות: 60−24 = 36. מטבעות נחושת חדשות: ¾×36 = 27.
22. −2x + 7 — איסוף איברים דומים: מקדמי x: 3 − 1 − 4 = −2. מספרים חופשיים: 5 + 2 = 7. תוצאה: −2x + 7.
23. כן — 25+144=169=13^2, מקיים פיתגורס.
24. 3n — (n − 1) + n + (n + 1) = 3n, שמתחלק ב-3 לכל n שלם.
25. 60 — הוזלה: 25% מ-80 = 20. מחיר חדש: 80-20 = 60. (אחוזים + חיסור)
26. 126 סמ״ר — נסמן רוחב = w, אורך = w + 5. היקף: 2(w + w + 5) = 46 → 2(2w + 5) = 46 → 4w + 10 = 46 → 4w = 36 → w = 9 סמ. אורך = 9 + 5 = 14 סמ. שטח = 9 × 14 = 126 סמ״ר.
27. 6 — קצב מילוי א׳: 1/3 בריכה לשעה. קצב ריקון ב׳: 1/6 בריכה לשעה. קצב נטו: 1/3 − 1/6 = 2/6 − 1/6 = 1/6 בריכה לשעה. זמן מילוי: 6 שעות.
28. 2³ × 2⁴ = 128; (2²)³ = 64; הראשון גדול ב-64 — 2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷ = 128. (2²)³ = 2^(2×3) = 2⁶ = 64. 128 − 64 = 64. הביטוי הראשון גדול ב-64.
29. 26 מ׳ — יחס הרגליים 5:12, רגל קצרה = 10 מ׳. k = 10 ÷ 5 = 2. רגל ארוכה = 12 × 2 = 24 מ׳. וֶתֶר: c² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676 → c = 26 מ׳.
30. 42 — שלב 1 — נסמן את המספר ב-x: (5/6)x = 35. שלב 2 — הכפל ב-6/5: x = 35 × (6/5) = 42.
31. x = 5 — 4x − 3x + 6 = 11. x + 6 = 11. x = 5.
32. x=3 — מקביל לציר y - x קבוע. עובר ב-x=3.
33. 15 — שלב 1: 40% מ-30 = 0.4×30 = 12 בנות. שלב 2: 12+3 = 15 בנות.
34. 12.5 — חיתוך עם ציר x: 0 = −x + 5 → x = 5. חיתוך עם ציר y: y = 5. המשולש בעל ניצבים 5 ו-5 על הצירים. S = ½ × 5 × 5 = 12.5.
35. 160 ₪ — הנחה 25% → הלקוח שילם 75% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.75x = 120 → x = 120 ÷ 0.75 = 160 ₪.
36. (2,0) ו-(0,−8) — שלב 1 — חיתוך עם ציר x (y=0): 4x−8=0 → 4x=8 → x=2 → נקודה (2,0). שלב 2 — חיתוך עם ציר y (x=0): y=4·0−8=−8 → נקודה (0,−8).
37. ירד 1% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה 10%: 100 × 1.1 = 110 ₪. לאחר ירידה 10%: 110 × 0.9 = 99 ₪. שינוי: (99 − 100) ÷ 100 = −1% → ירד 1%.
38. 3 — עוברים בפעם ראשונה: ⅝ × 32 = 20. נכשלים: 32 − 20 = 12. עוברים בפעם שנייה: ¾ × 12 = 9. לא עוברים גם בשנייה: 12 − 9 = 3.
39. 1 — SEND ו-MORE הם מספרים בני 4 ספרות. סכום שני מספרים כאלה יכול להגיע לכל היותר ל-19998. לכן MONEY (5 ספרות) מתחיל ב-1, כלומר M = 1. הפתרון הקלאסי: S=9, E=5, N=6, D=7, M=1, O=0, R=8, Y=2: 9567 + 1085 = 10652.
40. 6 — מספר האפסים בסוף n! = מספר ההופעות של 5 בפירוק לגורמים. ⌊25/5⌋ + ⌊25/25⌋ = 5 + 1 = 6.