סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. שטח 25, היקף 20 — שטח = 5×5 = 25 סמ"ר. היקף = 4×5 = 20 ס"מ. (גיאומטריה וכפל)
2. 3x+12 — חוק הפילוג: 3·x + 3·4 = 3x+12.
3. 252 מ״ר, 84% — שלב 1: מגרש=20×15=300 מ״ר. פארק=8×6=48 מ״ר. שלב 2: מחוץ לפארק=300−48=252 מ״ר. שלב 3: 252÷300×100=84%.
4. 60 ₪ — שלב 1 — חישוב ההנחה: 25% × 80 = 20 ₪. שלב 2 — המחיר החדש: 80 − 20 = 60 ₪.
5. 60 ₪ — הנחה 20% → הלקוח שילם 80% מהמחיר המקורי. 0.8x = 240 → x = 300 ₪ (מחיר מקורי). ההנחה = 300 − 240 = 60 ₪.
6. 95 — סכום 4 ציונים: 4 × 85 = 340. סכום נדרש ל-5 ציונים עם ממוצע 87: 5 × 87 = 435. ציון חמישי: 435 − 340 = 95.
7. 1 — אם x = 1: (2)(3)(4)(5) = 120. ✓
8. 1 — x + y = xy ⟺ xy − x − y = 0 ⟺ (x − 1)(y − 1) = 1. במספרים שלמים חיוביים: x − 1 = 1, y − 1 = 1, ולכן x = y = 2. רק זוג אחד.
9. x=7 — פילוג: 3x-6=15, 3x=21, x=7
10. 15 — שלב 1 — סך החלקים: 3 + 5 = 8. שלב 2 — ערך חלק יחיד: 40 ÷ 8 = 5. שלב 3 — מספר הבנים: 3 × 5 = 15.
11. −56 — (−4)³ = (−4) × (−4) × (−4) = 16 × (−4) = −64. √64 = 8. סה״כ: −64 + 8 = −56.
12. 79 — סכום: 5×60 + 8×75 + 7×85 + 5×95 = 300 + 600 + 595 + 475 = 1970. ממוצע = 1970 ÷ 25 = 78.8 ≈ 79.
13. 14 — שיפוע: m = (11 − 5) / (3 − 1) = 6/2 = 3. משוואת הישר: y = 3x + b. הצבה של (1, 5): 5 = 3(1) + b → b = 2. ולכן y = 3x + 2. עבור x = 4: y = 3(4) + 2 = 14.
14. 4 — פרופורציה הפוכה: 8·6=48. 48/12=4.
15. x ≤ 7 — 3(x − 2) ≤ 2x + 1 → 3x − 6 ≤ 2x + 1 → x ≤ 7.
16. 5/12 — אדומים: 24/3=8. כחולים: 24/4=6. ירוקים: 24-8-6=10. הסתברות: 10/24=5/12. (שברים + חיסור + הסתברות)
17. x = 3 — שלב 1 — פתיחת סוגריים: 2x − 6 + 4 = 3x − 5. שלב 2 — כינוס: 2x − 2 = 3x − 5. שלב 3 — העברת אגפים: 5 − 2 = 3x − 2x, כלומר 3 = x.
18. 8k — (2k + 1)² − (2k − 1)² = ((2k + 1) + (2k − 1))((2k + 1) − (2k − 1)) = (4k)(2) = 8k. תמיד מתחלק ב-8.
19. 1/4 — 0.25 = 25/100 = 1/4
20. 6.2 — (5·4+7·6)/10 = 62/10 = 6.2.
21. 5 יח׳, רביע ראשון — שלב 1 — מרחק: d = √((3−0)² + (4−0)²) = √(9+16) = √25 = 5 יחידות. שלב 2 — הנקודה (3,4): x > 0 ו-y > 0 → רביע ראשון.
22. 6.25 יחידות² — מציאת k: 11 = 2(3) + k → 11 = 6 + k → k = 5. הפונקציה: f(x) = 2x + 5. חיתוך ציר y (x = 0): y = 5. נקודה (0, 5). חיתוך ציר x (y = 0): 2x + 5 = 0 → x = −2.5. נקודה (−2.5, 0). שטח = ½ × |−2.5| × |5| = ½ × 2.5 × 5 = 6.25 יחידות².
23. 7.7 מ׳ — שטח עיגול: (22/7)×7² = (22/7)×49 = 154 מ״ר. שטח מקבילית: 20x = 154 → x = 154/20 = 7.7 מ׳.
24. 2/3 — סה״כ כדורים: 4 + 3 + 5 = 12. כדורים שאינם אדומים: 3 + 5 = 8. סיכוי: 8/12 = 2/3.
25. x=6 — 2x=12, ולכן x=6.
26. 6 — קצב מילוי א׳: 1/3 בריכה לשעה. קצב ריקון ב׳: 1/6 בריכה לשעה. קצב נטו: 1/3 − 1/6 = 2/6 − 1/6 = 1/6 בריכה לשעה. זמן מילוי: 6 שעות.
27. כן, יישארו 0 ₪ — היקף: 2 × (30 + 20) = 100 מ׳. מספר גדרות: 100 ÷ 5 = 20 גדרות. עלות: 20 × 90 = 1,800 ₪. 1,800 = 1,800 → התקציב מספיק בדיוק, יישארו 0 ₪.
28. 24 ס"מ — רוחב = 8 ÷ 2 = 4. היקף = 2 × (8 + 4) = 24 ס"מ. (משלב שברים וגיאומטריה)
29. 7 — נסמן נכונות = x, שגויות = 10 − x. 4x − 2(10 − x) = 22 → 4x − 20 + 2x = 22 → 6x = 42 → x = 7.
30. 77 — שטח עיגול=22/7·49=154. חצי=77.
31. 90 — סכום 5 ציונים: 5 × 78 = 390. סכום נדרש ל-6 ציונים (ממוצע 80): 6 × 80 = 480. ציון שישי: 480 − 390 = 90.
32. 24 ס״מ — שלב 1: פיתגורס: יתר² = 6²+8² = 36+64 = 100 ← יתר=10 ס״מ. שלב 2: היקף = 6+8+10 = 24 ס״מ.
33. 6 — פרופ' הפוכה: 4·9=36. 36/6=6.
34. 25% — שלב 1: הפסד 10% → מחיר מכירה=450×0.9=405 ש״ח. שלב 2: ירידה=540−405=135 ש״ח. שלב 3: x=135÷540×100=25%.
35. -6x+10 — -2·3x=-6x, -2·(-5)=+10.
36. 4 — (2³)² = 2^(3·2) = 2⁶. 2⁶ × 2⁻⁴ = 2^(6−4) = 2² = 4.
37. 7 ש״ח — שלב 1: 5x + 3×4 = 47 ← 5x+12=47. שלב 2: 5x=35 ← x=7 ש״ח.
38. 1 — המרחק של x מ-3 ועוד המרחק שלו מ-(−2) שווה 7. בקטע [−2, 3] הסכום הוא תמיד 5 ולכן אין פתרון. מחוץ לקטע: x = 4 (4 − 3 + 4 + 2 = 7) או x = −3 (3 + 1 = ... בדיקה: |−3 − 3| + |−3 + 2| = 6 + 1 = 7). סכום: 4 + (−3) = 1.
39. 30 — שלב 1 — נסמן את המספרים: x, x+2, x+4. שלב 2 — משוואה: 3x + 6 = 84, ולכן 3x = 78, ו-x = 26. שלב 3 — המספרים: 26, 28, 30. הגדול הוא 30.
40. x=3 — 15=5x, ולכן x=3.