סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 75 — 0.15x = 45 → x = 45 ÷ 0.15 = 300. 25% מ-300 = 0.25 × 300 = 75.
2. 3 — ספרות אחדות של 2^n מחזור 4: 2,4,8,6. 2026 mod 4 = 2 → 4. ספרות אחדות של 3^n מחזור 4: 3,9,7,1. 2026 mod 4 = 2 → 9. 4 + 9 = 13 → ספרת האחדות היא 3.
3. 1/221 — P(מלך ראשון) = 4/52. לאחר שליפת מלך נשארו 51 קלפים ו-3 מלכים → P(מלך שני | ראשון מלך) = 3/51. P(שניהם מלכים) = (4/52) × (3/51) = 12 / 2652 = 1/221.
4. 300 ק"מ — מהירות: 180÷3 = 60 קמ"ש. ב-5 שעות: 60×5 = 300 ק"מ. (יחס ומהירות)
5. ירידה של 10% — 100 × 1.20 = 120. 120 × 0.75 = 90. מ-100 ל-90 → ירידה של 10%.
6. 30° — זוויות הבסיס: ∠B = ∠C = (180° − 40°)/2 = 70°. במשולש BDC (שווה-שוקיים, BD = BC): ∠BDC = ∠BCD = 70°, אז ∠DBC = 180° − 140° = 40°. לכן ∠ABD = ∠ABC − ∠DBC = 70° − 40° = 30°.
7. 6 ימים — סך-העבודה: 4 × 9 = 36 ימי-פועל. עם 6 פועלים: 36 ÷ 6 = 6 ימים. (יחס הפוך: יותר פועלים → פחות ימים).
8. 240 סמ"ר — אורך=5k, רוחב=3k. 2(5k+3k)=64 ⇒ 16k=64 ⇒ k=4. אורך=20, רוחב=12. שטח: 20×12=240. (יחס, משוואה, גיאומטריה)
9. 50.24 — S=πr^2=3.14·16=50.24.
10. 10 — 20% מ-500=100. 10% מ-100=10.
11. אי-אפשר לדעת — נבדוק את שלוש האפשרויות בשיטתיות — בכל מקרה נספור כמה משפטים אמת:\n\n**מקרה 1 — ערן הכי גבוה** (למשל $\text{ערן} > \text{דנה} > \text{יעל}$):\n- דנה: "ערן הכי גבוה" — **אמת**\n- ערן: "יעל > ערן" — שקר\n- יעל: "דנה > ערן" — שקר\n- סה"כ: בדיוק אמת אחת. **תקין.**\n\n**מקרה 2 — יעל הכי גבוהה** (למשל $\text{יעל} > \text{ערן} > \text{דנה}$):\n- דנה: "ערן הכי גבוה" — שקר\n- ערן: "יעל > ערן" — **אמת**\n- יעל: "דנה > ערן" — שקר (דנה < ערן)\n- סה"כ: בדיוק אמת אחת. **תקין.**\n\n**מקרה 3 — דנה הכי גבוהה** (למשל $\text{דנה} > \text{ערן} > \text{יעל}$):\n- דנה: "ערן הכי גבוה" — שקר\n- ערן: "יעל > ערן" — שקר\n- יעל: "דנה > ערן" — **אמת**\n- סה"כ: בדיוק אמת אחת. **תקין.**\n\nשלושת המקרים מקיימים בדיוק אמת אחת — אין מידע נוסף שיאפשר לפסול אף אחד מהם. לכן **אי-אפשר לדעת** מי קיבל הציון הגבוה ביותר.
12. 32 — שטח טרפז = (6+10)/2 × 4 = 8 × 4 = 32. (נוסחת טרפז + חיבור + כפל)
13. 17 — שיפוע: m = (11 − 3) ÷ (4 − 0) = 8 ÷ 4 = 2. חיתוך ציר y: b = 3 (מהנקודה (0, 3)). משוואה: y = 2x + 3. ב-x = 7: y = 2(7) + 3 = 17.
14. 3 — 8 = 2³, אז 8^(x − 2) = 2^(3(x − 2)) = 2^(3x − 6). מ-2^x = 2^(3x − 6) נובע x = 3x − 6, כלומר 2x = 6, x = 3.
15. 13 — סכום כל המספרים: 4×12=48. הרביעי: 48-(10+14+11)=48-35=13
16. 5/12 — אדומים: 24/3=8. כחולים: 24/4=6. ירוקים: 24-8-6=10. הסתברות: 10/24=5/12. (שברים + חיסור + הסתברות)
17. 1/6 — מספרים אי-זוגיים: 1, 3, 5. מספרים גדולים מ-4: 5, 6. החיתוך: רק 5. P = 1/6.
18. שיפוע 3, חיתוך ציר y: −1 — הפונקציה בצורה y = mx + b. m (שיפוע) = 3. b (חיתוך ציר y) = −1. בדיקה: כש-x = 0 → y = 3(0) − 1 = −1. ✓
19. 20 — 25% = 1/4, ו-80/4 = 20
20. 38 ס״מ — שלב 1 — חישוב הרוחב: 84 ÷ 12 = 7 ס״מ. שלב 2 — היקף: 2 × (12 + 7) = 2 × 19 = 38 ס״מ.
21. 6,200 ₪ — ריבית שנתית: 6% × 5,000 = 300 ₪. ריבית ל-4 שנים: 4 × 300 = 1,200 ₪. סכום כולל: 5,000 + 1,200 = 6,200 ₪.
22. x=8 — חסר 7: x=15-7=8.
23. 79 — סכום: 5×60 + 8×75 + 7×85 + 5×95 = 300 + 600 + 595 + 475 = 1970. ממוצע = 1970 ÷ 25 = 78.8 ≈ 79.
24. x>7 — חלק ב-2: x>7.
25. 40° — חוצה מחלק לשתיים שוות: 80/2=40.
26. 30 — שלב 1 — נסמן את המספרים: x, x+2, x+4. שלב 2 — משוואה: 3x + 6 = 84, ולכן 3x = 78, ו-x = 26. שלב 3 — המספרים: 26, 28, 30. הגדול הוא 30.
27. 60 סמ״ר — הגובה מחצה את הבסיס → חצי בסיס = 5 סמ. פיתגורס: h² + 5² = 13² → h² = 169 − 25 = 144 → h = 12 סמ. שטח = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר.
28. 36° — במשולש שווה-שוקיים שתי זוויות הבסיס שוות. זווית ראש = 180° − 72° − 72° = 36°.
29. 120 ₪ — הגובה חוצה את הבסיס → חצי בסיס = 5 סמ. פיתגורס: h² + 5² = 13² → h² = 169 − 25 = 144 → h = 12 סמ. שטח = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר. עלות צביעה = 60 × 2 = 120 ₪.
30. 15 — שלב 1 — סך החלקים: 3 + 5 = 8. שלב 2 — ערך חלק יחיד: 40 ÷ 8 = 5. שלב 3 — מספר הבנים: 3 × 5 = 15.
31. 60 ש"ח — ספר: 120/3=40, יתרה 80. מתנה: 25% מ-80 = 20. נשאר: 80-20=60. (שברים + אחוזים + חיסור)
32. x ≤ 1 — 5 − 2(x + 1) ≥ 1 → 5 − 2x − 2 ≥ 1 → 3 − 2x ≥ 1 → −2x ≥ −2 → x ≤ 1 (חלוקה במינוס הופכת כיוון).
33. נקודת אמצע: 1; מרחק: 8 — נקודת אמצע: (A+B)/2 = (−3+5)/2 = 2/2 = 1. מרחק: |B−A| = |5−(−3)| = |5+3| = 8.
34. 40 — ממוצע·כמות=סכום: 8·5=40.
35. 24 — נסמן x-1, x, x+1. סכומם: 3x=72, x=24
36. 200 — האלכסון d במשולש ישר-זווית שניצביו צלעות הריבוע. d² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200. (האלכסון הוא קוטר המעגל; d = 10√2.)
37. 3,000 ₪ — היקף: 2 × (15 + 10) = 50 מ׳. מספר גדרות: 50 ÷ 2 = 25 גדרות. עלות: 25 × 120 = 3,000 ₪.
38. 29 ש"ח — שלב 1 — פונקציה: y = 3x + 5. שלב 2 — עבור x=8: y = 3·8 + 5 = 24 + 5 = 29 ש"ח.
39. 185.6 מ״ר — שטח העיגול: π×10² = 3.14×100 = 314 מ״ר. המלבן החיצוני: קוטר העיגול = 20 מ׳. עם שביל של 2 מ׳ מכל צד: רוחב מלבן = 20+4 = 24 מ׳, אורך = 24 מ׳ (מלבן ריבועי). שטח מלבן: 24×24 = 576 מ״ר. שטח שביל: 576−314 = 262 מ״ר. בדיקה: אם השביל מוקף ממש סביב העיגול כמסגרת מלבנית: שטח מלבן חיצוני = 24²=576, שטח עיגול=314, שביל=262. אך האפשרות 185.6 מרמזת על חישוב אחר. נחשב: שביל 2 מ׳ מכל כיוון — אם זה מלבן שאורכו וגובהו = 2×(r+2) בסיסי: 2×12=24, 24²=576, 576−314=262 מ״ר.
40. 60 — מקורי·1.5=90, ולכן 90/1.5=60.