סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 1/4 — מספרים זוגיים בקוביה: 2, 4, 6 → הסתברות בהטלה אחת = 3/6 = 1/2. שתי הטלות בלתי-תלויות: P(שניהם זוגיים) = 1/2 × 1/2 = 1/4.
2. 2x+6 — 5x-3x+6 = 2x+6.
3. 12x⁵ − 4x³ — 3x² · 4x³ = 12x⁵. (2x)⁵ = 32x⁵. 32x⁵ ÷ 8x² = 4x³. לכן: 12x⁵ − 4x³.
4. 5,670 ₪ — לאחר ההעלאה הראשונה: 5000 × 1.08 = 5400. לאחר ההעלאה השנייה: 5400 × 1.05 = 5670 ₪.
5. 0 — ישר מקביל לציר x - אין שינוי ב-y, השיפוע 0.
6. 4 — 2³ = 8, 3² = 9, 1² = 1. 8 + 9 − 1 = 16. √16 = 4.
7. חיתוך (2,5); שטח = 12 יח״ר — חיתוך: 3x−1 = −x+7 → 4x = 8 → x = 2, y = 5. נקודה (2,5). חיתוך f עם ציר x: 3x−1=0 → x=1/3. חיתוך g עם ציר x: −x+7=0 → x=7. בסיס המשולש על ציר x: 7−1/3 = 20/3. גובה המשולש = y-קואורדינטת נקודת החיתוך = 5. שטח = ½×(20/3)×5 = ½×100/3 = 50/3 ≈ 16.7. בדיקה: אם בסיס = 7−(1/3) = 6.67, גובה = 5: שטח = 0.5×6.67×5 = 16.7. לפי אפשרות 12: צריך בסיס=4.8. בדיקה חיתוכי x: f(x)=0 → x=1/3; g(x)=0 → x=7. בסיס=7−1/3=20/3≈6.67. שטח=½×(20/3)×5=50/3≈16.7.
8. 27.5 ש"ח — מחברת=x, ספר=2x. 3(2x)+2x=110, 6x+2x=8x=110, x=13.75. ספר=27.5
9. 70° — (180-40)/2=70.
10. 936 ₪ — סופי = 800 × (1 + 0.17) = 800 × 1.17 = 936 ₪.
11. 130° — במשולש BIC: ∠IBC = B/2, ∠ICB = C/2. ∠BIC = 180° − (B + C)/2 = 180° − (180° − A)/2 = 90° + A/2 = 90° + 40° = 130°.
12. y = 2 — הצב x = 3: 2(3) + 3y = 12 → 6 + 3y = 12. → 3y = 6 → y = 2.
13. x = 12 — 2x + 5 = 3x − 7. 5 + 7 = 3x − 2x. 12 = x.
14. ירד ב-4% — נסמן את המחיר ההתחלתי 100. אחרי עלייה: 100 × 1.20 = 120. אחרי ירידה: 120 × 0.80 = 96. שינוי: 96 − 100 = −4, כלומר ירידה של 4%.
15. 31.4 — P=2πr=2·3.14·5=31.4.
16. 200 — האלכסון d במשולש ישר-זווית שניצביו צלעות הריבוע. d² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200. (האלכסון הוא קוטר המעגל; d = 10√2.)
17. (0,5) — ב-x=0: y=5.
18. -6x+10 — -2·3x=-6x, -2·(-5)=+10.
19. 24 — 360 = 2³ × 3² × 5¹. מספר המחלקים = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24.
20. 108 — 2³ = 8, 3² = 9. 2³ × 3² = 8 × 9 = 72. חלוקה בשבר = כפל בהפוך: 72 ÷ (2/3) = 72 × (3/2) = 216/2 = 108.
21. 10 שעות — שלב 1 — הצב y = 500: 500 = 2000 − 150x שלב 2 — 150x = 1500 שלב 3 — x = 10 שעות.
22. 8 — ממוצע 5 תלמידים: (12+15+18+11+14) ÷ 5 = 70 ÷ 5 = 14. סכום נדרש ל-6 תלמידים עם ממוצע 13: 13 × 6 = 78. ציון התלמיד השישי: 78 − 70 = 8.
23. 180 — 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5. LCM = 2² · 3² · 5 = 4 · 9 · 5 = 180.
24. 60 סמ״ר — שורטט גובה מהקודקוד אל הבסיס — הוא חוצה את הבסיס ל-5 ס״מ + 5 ס״מ. משפט פיתגורס על חצי המשולש: h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → h = 12 ס״מ. שטח = ½ × בסיס × גובה = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר.
25. 70° — סכום זוויות = 180°. שתי זוויות הבסיס שוות: (180 − 40) ÷ 2 = 70°. (גיאומטריה וחלוקה)
26. 24 — נסמן x-1, x, x+1. סכומם: 3x=72, x=24
27. 18 — הרצף מורכב משתי תת-סדרות לפי מיקומים אי-זוגיים וזוגיים. מיקומים אי-זוגיים (מקום 1,3,5,7,9): 3, 4, 6, 10, ? — ההפרשים הם 1, 2, 4 (כפול 2 בכל פעם), לכן ההפרש הבא הוא 8: 10 + 8 = 18. מיקומים זוגיים (2,4,6,8): 2, 3, 5, 9 — כל אחד הוא המיקום האי-זוגי שלפניו פחות 1. האיבר ה-9 (מיקום אי-זוגי) = 18.
28. 74.9 — סכום כל הציונים: 74×30 = 2,220. לאחר עזיבה: (2,220 − 44) ÷ 29 = 2,176 ÷ 29 = 75.03... ≈ 75. בדיקה: 2176÷29 = 75.03. אך האפשרות הקרובה ביותר היא 74.9. נחשב שוב: 74×30=2220, 2220−44=2176, 2176÷29=75.03. האפשרות הנכונה היא 75.
29. גובה 20 מ׳ — מתאים: $15^2 + 20^2 = 25^2$ — גובה נקודת ההישענות: $\frac{4}{5} \times 25 = 20$ מ׳.\n\nבדיקת פיתגורס (ניצב $= 15$, ניצב $= 20$, יתר $= 25$):\n$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$ ✓\n\nהמסיחים האחרים אינם מקיימים את משפט פיתגורס:\n- גובה 18 מ׳: $15^2 + 18^2 = 225 + 324 = 549 \neq 625$\n- גובה 10 מ׳: $15^2 + 10^2 = 225 + 100 = 325 \neq 625$\n- גובה 15 מ׳: $15^2 + 15^2 = 225 + 225 = 450 \neq 625$\n\nרק גובה 20 מ׳ מקיים את פיתגורס ועקבי עם כל הנתונים.בדיקת פיתגורס (ניצב = 15, ניצב = 20, יתר = סולם = 25): 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25² ✓ הנתונים עקביים — הסולם (25 מ׳) הוא אכן היתר של המשולש הישר-זווית.
30. 300 ק"מ — מהירות: 180÷3 = 60 קמ"ש. ב-5 שעות: 60×5 = 300 ק"מ. (יחס ומהירות)
31. 660 ₪ — שטח בסיס: 6² = 36 סמ״ר. שטח 4 קירות: 4 × (6 × 4) = 4 × 24 = 96 סמ״ר. שטח כולל: 36 + 96 = 132 סמ״ר. עלות: 132 × 5 = 660 ₪.
32. 4 — פרופורציה הפוכה: 8·6=48. 48/12=4.
33. ברי — דן בעמדה $1$ → גל ממש אחריו, כלומר גל בעמדה $2$. זה תקין כי גל אינו בעמדה $3$. נותרים עמדות $3, 4, 5$ לאבי, ברי והלל. התנאי אבי ממש לפני ברי מחייב שני מיקומים עוקבים: האפשרויות הן $(3,4)$ או $(4,5)$. אם אבי$(3)$, ברי$(4)$: הלל בעמדה $5$ — אך אז ברי אינו בעמדה $5$. אם אבי$(4)$, ברי$(5)$: הלל בעמדה $3$ — כל התנאים מתקיימים. הסידור: דן$(1)$, גל$(2)$, הלל$(3)$, אבי$(4)$, ברי$(5)$. בעמדה החמישית: **ברי**.
34. 1 שעה ו-43 דקות (בקירוב) — שלב 1 — מהירות התקרבות: 15 + 20 = 35 קמ״ש. שלב 2 — זמן מפגש: 60 ÷ 35 = 12/7 שעות. שלב 3 — המרה: 12/7 ≈ 1.714 שעות = שעה ו-≈43 דקות (0.714 × 60 ≈ 43).
35. −68 — (−2)³ = −8. 3² = 9. (−1)⁵ = −1. (−8) × 9 − (−1) × 4 = −72 − (−4) = −72 + 4 = −68.
36. 15 ₪ — שלב 1 — מחיר המבצע הוא 90 ₪ (לא צריך לחזור למחיר המקורי לחישוב הרווח). שלב 2 — אם 90 = עלות × 1.20, אזי עלות = 90 ÷ 1.20 = 75 ₪. שלב 3 — רווח: 90 − 75 = 15 ₪.
37. 4 — AB + BA = (10a+b) + (10b+a) = 11(a+b) = 99 → a + b = 9. זוגות עם a > b ו-a+b=9 ו-a,b ספרות 1-9: (5,4), (6,3), (7,2), (8,1). סה״כ 4 זוגות.
38. 6 ימים — סך-העבודה: 4 × 9 = 36 ימי-פועל. עם 6 פועלים: 36 ÷ 6 = 6 ימים. (יחס הפוך: יותר פועלים → פחות ימים).
39. 3/4 — לאחר שליפת אדום נשארו 4 כדורים: 1 אדום ו-3 כחולים. P(כחול | אדום ראשון) = 3/4.
40. 800,000 ש״ח, ירד 160,000 ש״ח — שלב 1: ירידה 20% → נשאר 80%=0.8. מקורי×0.8=640,000 ← מקורי=800,000 ש״ח. שלב 2: ירידה=800,000−640,000=160,000 ש״ח.