סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. x ≥ −3 — 4 − 2x ≤ 10 → −2x ≤ 10 − 4 = 6 → x ≥ −3 (חלוקה במספר שלילי הופכת את הסימן).
2. 4x^2 — כל האיברים דומים (x^2): 3+2-1=4, ולכן 4x^2.
3. אורך 10, רוחב 6 — a×b=60, (a+2)(b-1)=60. פתיחה: ab-a+2b-2=60. הצבת ab=60: -a+2b-2=0, a=2b-2. הצבה: (2b-2)b=60, 2b²-2b-60=0, b²-b-30=0, b=6 (חיובי). a=10. בדיקה: 10×6=60, 12×5=60 ✓. (משוואה ריבועית + שטח + מערכת)
4. 26 — נמכרו: 35% × 280 = 0.35 × 280 = 98 קופסאות. נותרו: 280 − 98 = 182 קופסאות. לכל מדף: 182 ÷ 7 = 26 קופסאות.
5. 2 שעות 24 דקות — קצב א׳: 1/4 בריכה לשעה. קצב ב׳: 1/6 בריכה לשעה. קצב יחד: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 בריכה לשעה. זמן: 1 ÷ (5/12) = 12/5 שעות = 2.4 שעות. 0.4 שעות = 0.4 × 60 = 24 דקות. סה״כ: 2 שעות ו-24 דקות.
6. 48 סמ — שטח ריבוע = צלע² → צלע = √144 = 12 סמ. היקף = 4 × 12 = 48 סמ.
7. 5/7 — P(אף לא אחד אדום) = P(שניהם כחולים). שליפה ראשונה כחולה: 4/7. שליפה שנייה כחולה (נשארו 3 כחולים מתוך 6): 3/6 = 1/2. P(שניהם כחולים) = 4/7 × 1/2 = 4/14 = 2/7. P(לפחות אחד אדום) = 1 − 2/7 = 5/7.
8. 1/36 — 1/6·1/6=1/36.
9. 12 — 12·12=144.
10. 120 ₪ — הגובה חוצה את הבסיס → חצי בסיס = 5 סמ. פיתגורס: h² + 5² = 13² → h² = 169 − 25 = 144 → h = 12 סמ. שטח = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר. עלות צביעה = 60 × 2 = 120 ₪.
11. 90 ש"ח — שלב 1 — הגדרת משתנה: תהי x = כסף לאיתי, אז לרן יש 3x. שלב 2 — משוואה: x + 3x = 480, ולכן 4x = 480, x = 120. שלב 3 — לרן יש 3 · 120 = 360 ש"ח. שלב 4 — 25% מ-360 = 0.25 · 360 = 90 ש"ח.
12. 30 סמ"ר — שטח משולש = (בסיס×גובה)/2 = (10×6)/2 = 30
13. 0 — -8+3=-5, ואז -5-(-5)=0.
14. 16 — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 8 = 0 → x = 4. חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −8. המשולש הוא ישר-זווית עם רגליים 4 ו-8. שטח = ½ × 4 × 8 = 16.
15. 49 סמ"ר — שטח ריבוע = צלע² = 7² = 49
16. 79 — סכום: 5×60 + 8×75 + 7×85 + 5×95 = 300 + 600 + 595 + 475 = 1970. ממוצע = 1970 ÷ 25 = 78.8 ≈ 79.
17. 12 מ׳ — הסולם, הקיר והקרקע יוצרים משולש ישר-זווית. הסולם הוא הוֶתֶר. h² + 5² = 13² → h² = 169 − 25 = 144 → h = 12 מ׳.
18. 108 סמ"ר — נסמן רוחב x, אורך 3x. היקף: 2(x+3x)=8x=48, x=6. שטח: 6×18=108
19. x=3 — מקביל לציר y - x קבוע. עובר ב-x=3.
20. 10 — בנים: 60% מ-25 = 15. בנות: 25-15 = 10. (אחוזים + חיסור)
21. 40 — ממוצע·כמות=סכום: 8·5=40.
22. 48 מ׳ — שלב 1 — סמן רוחב = x, אורך = 3x. שלב 2 — שטח: x · 3x = 3x² = 108. שלב 3 — x² = 36, x = 6. שלב 4 — אורך = 18, היקף = 2(6 + 18) = 48 מ׳.
23. 6 ימים — סך-העבודה: 4 × 9 = 36 ימי-פועל. עם 6 פועלים: 36 ÷ 6 = 6 ימים. (יחס הפוך: יותר פועלים → פחות ימים).
24. 3°C — שלב 1: בצהריים: −3+11=8°C. שלב 2: בערב: 8−5=3°C.
25. 15 מ״ר — שלב 1: שטח = 5×4 = 20 מ״ר. שלב 2: 75% מ-20 = 0.75×20 = 15 מ״ר.
26. 252 מ״ר, 84% — שלב 1: מגרש=20×15=300 מ״ר. פארק=8×6=48 מ״ר. שלב 2: מחוץ לפארק=300−48=252 מ״ר. שלב 3: 252÷300×100=84%.
27. ירד 4% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה 20%: 100 × 1.2 = 120 ₪. לאחר ירידה 20%: 120 × 0.8 = 96 ₪. שינוי: (96 − 100) ÷ 100 = −4% → ירד 4%.
28. 3 — (11-2)/(4-1) = 9/3 = 3.
29. 130° — במשולש BIC: ∠IBC = B/2, ∠ICB = C/2. ∠BIC = 180° − (B + C)/2 = 180° − (180° − A)/2 = 90° + A/2 = 90° + 40° = 130°.
30. 40 סמ"ר — רוחב=x, אורך=x+3. 2(2x+3)=26, 2x+3=13, x=5. אורך=8. שטח=5×8=40. (משוואה + היקף + שטח)
31. 70° — סכום = 180°: (x+30) + (2x+10) + (3x−40) = 180 → 6x = 180 → x = 30. A = 60°, B = 70°, C = 50°. הגדולה ביותר: B = 70°.
32. −2x + 7 — איסוף איברים דומים: מקדמי x: 3 − 1 − 4 = −2. מספרים חופשיים: 5 + 2 = 7. תוצאה: −2x + 7.
33. 20 ימים — סך עבודה: 5×12 = 60 ימי-עבודה. 60 ÷ 3 = 20 ימים. (יחס הפוך)
34. 30° — זוויות הבסיס: ∠B = ∠C = (180° − 40°)/2 = 70°. במשולש BDC (שווה-שוקיים, BD = BC): ∠BDC = ∠BCD = 70°, אז ∠DBC = 180° − 140° = 40°. לכן ∠ABD = ∠ABC − ∠DBC = 70° − 40° = 30°.
35. 160 סמ״ר — נסמן רוחב = x, אורך = x + 12. היקף: 2(x + x + 12) = 56 → 4x + 24 = 56 → 4x = 32 → x = 8. רוחב = 8 סמ, אורך = 20 סמ. שטח = 8 × 20 = 160 סמ״ר.
36. 7 ש״ח — שלב 1: 5x + 3×4 = 47 ← 5x+12=47. שלב 2: 5x=35 ← x=7 ש״ח.
37. 6 — פרופ' הפוכה: 4·9=36. 36/6=6.
38. 6,200 ₪ — ריבית פשוטה לשנה: 5000 × 0.08 = 400 ₪. ל-3 שנים: 400 × 3 = 1,200 ₪. סכום סופי = 5,000 + 1,200 = 6,200 ₪.
39. 36 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 12 = 0 → x = 6. נקודה A(6, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −12. נקודה B(0, −12). רגל₁ = 6 (לאורך ציר x), רגל₂ = 12 (לאורך ציר y). שטח = ½ × 6 × 12 = 36 יחידות².
40. n³ − n = n(n − 1)(n + 1) — מכפלת שלושה מספרים עוקבים — n³ − n = n(n² − 1) = n(n − 1)(n + 1). זוהי מכפלת שלושה עוקבים: בהם בהכרח אחד מתחלק ב-2 ואחד מתחלק ב-3, ולכן המכפלה מתחלקת ב-6.