סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 3/4 — לאחר שליפת אדום נשארו 4 כדורים: 1 אדום ו-3 כחולים. P(כחול | אדום ראשון) = 3/4.
2. 4/5 — סה״כ = 5 + 3 + 2 = 10. לא ירוקים = 5 + 3 = 8. הסתברות = 8/10 = 4/5.
3. 17 — (−2)⁴ = 16 (חזקה זוגית → תוצאה חיובית). (−3)² = 9. 2³ = 8. 16 + 9 − 8 = 17.
4. 70° — (180-40)/2=70.
5. 660 ₪ — שטח בסיס: 6² = 36 סמ״ר. שטח 4 קירות: 4 × (6 × 4) = 4 × 24 = 96 סמ״ר. שטח כולל: 36 + 96 = 132 סמ״ר. עלות: 132 × 5 = 660 ₪.
6. −68 — (−2)³ = −8. 3² = 9. (−1)⁵ = −1. (−8) × 9 − (−1) × 4 = −72 − (−4) = −72 + 4 = −68.
7. 30 — שלב 1 — נסמן את המספרים: x, x+2, x+4. שלב 2 — משוואה: 3x + 6 = 84, ולכן 3x = 78, ו-x = 26. שלב 3 — המספרים: 26, 28, 30. הגדול הוא 30.
8. 90 — סכום 5 ציונים: 5 × 78 = 390. סכום נדרש ל-6 ציונים (ממוצע 80): 6 × 80 = 480. ציון שישי: 480 − 390 = 90.
9. 5/33 — כדור ראשון אדום: 5/12. אחרי הוצאת אדום נשארו 4 אדומים מתוך 11. כדור שני אדום: 4/11. הסתברות משולבת: 5/12 × 4/11 = 20/132 = 5/33.
10. 0.936x — שלב 1 — לאחר הנחה 20%: מחיר = x · 0.8 שלב 2 — לאחר תוספת מע"מ 17%: מחיר = 0.8x · 1.17 = 0.936x לכן הביטוי הפשוט הוא 0.936x.
11. 6 — חיתוך בין הפונקציות: 3x − 6 = −x + 6 → 4x = 12 → x = 3, y = 3. חיתוך f עם ציר x: 3x − 6 = 0 → x = 2. חיתוך g עם ציר x: −x + 6 = 0 → x = 6. קודקודים: (2, 0), (6, 0), (3, 3). הבסיס על ציר x = 6 − 2 = 4, הגובה = 3. S = ½ × 4 × 3 = 6.
12. 21 — 2/3 × 24 = 16. 16 + 5 = 21. (שברים וחיבור)
13. 2:3 — מחלקים את שני הצדדים ב-6: 12:18 = 2:3
14. 26 ס"מ — היקף = 2×(8+5) = 2×13 = 26
15. ירד ב-4% — נסמן את המחיר ההתחלתי 100. אחרי עלייה: 100 × 1.20 = 120. אחרי ירידה: 120 × 0.80 = 96. שינוי: 96 − 100 = −4, כלומר ירידה של 4%.
16. 4 — AB + BA = (10a+b) + (10b+a) = 11(a+b) = 99 → a + b = 9. זוגות עם a > b ו-a+b=9 ו-a,b ספרות 1-9: (5,4), (6,3), (7,2), (8,1). סה״כ 4 זוגות.
17. 486 — a₆ = 2 × 3^(6−1) = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486.
18. y = 2 — הצב x = 3: 2(3) + 3y = 12 → 6 + 3y = 12. → 3y = 6 → y = 2.
19. −21 — סדר פעולות: −12 + (−9) = −21. (מספרים שליליים וסדר פעולות)
20. 120 ₪ — הגובה חוצה את הבסיס → חצי בסיס = 5 סמ. פיתגורס: h² + 5² = 13² → h² = 169 − 25 = 144 → h = 12 סמ. שטח = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר. עלות צביעה = 60 × 2 = 120 ₪.
21. 4x − 2 — שלב 1 — פתיחת סוגריים ראשונה: 6x − 12. שלב 2 — פתיחת סוגריים שנייה: −2x + 10. שלב 3 — כינוס: 6x − 2x = 4x, ו-(−12) + 10 = −2. התוצאה: 4x − 2.
22. 5 — 13^2-12^2=169-144=25, √25=5.
23. 20 ימים — סך עבודה: 5×12 = 60 ימי-עבודה. 60 ÷ 3 = 20 ימים. (יחס הפוך)
24. 6,200 ₪ — ריבית פשוטה לשנה: 5000 × 0.08 = 400 ₪. ל-3 שנים: 400 × 3 = 1,200 ₪. סכום סופי = 5,000 + 1,200 = 6,200 ₪.
25. 102 — סדרה חשבונית עם a₁ = 7 ו-d = 5. הנוסחה: aₙ = 7 + (n−1) × 5 = 5n + 2. a₂₀ = 5 × 20 + 2 = 102.
26. −56 — (−4)³ = (−4) × (−4) × (−4) = 16 × (−4) = −64. √64 = 8. סה״כ: −64 + 8 = −56.
27. 100 ק״מ — חלק ברכב: ⅓ × 240 = 80 ק״מ. חלק באוטובוס: ¼ × 240 = 60 ק״מ. סה״כ שנעשה: 80 + 60 = 140 ק״מ. ברכבת: 240 − 140 = 100 ק״מ.
28. 2 שעות — קצב A = 1/6 לשעה, קצב B = 1/3 לשעה. קצב משולב = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 לשעה. זמן = 1 ÷ (1/2) = 2 שעות.
29. $\dfrac{3}{5}$ — כופלים מונה במונה ומכנה במכנה: $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{2 \times 9}{3 \times 10} = \dfrac{18}{30}$. מצמצמים ב-6: $\dfrac{18 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{3}{5}$.
30. 36 — 2x=12, x=6. x²=36. (משוואה + חזקות)
31. x=5 — 5x-2x=12+3, 3x=15, x=5
32. 6.25 יחידות² — מציאת k: 11 = 2(3) + k → 11 = 6 + k → k = 5. הפונקציה: f(x) = 2x + 5. חיתוך ציר y (x = 0): y = 5. נקודה (0, 5). חיתוך ציר x (y = 0): 2x + 5 = 0 → x = −2.5. נקודה (−2.5, 0). שטח = ½ × |−2.5| × |5| = ½ × 2.5 × 5 = 6.25 יחידות².
33. x=3 — 15=5x, ולכן x=3.
34. 90 — מספר הזוגות: C(10, 2) = 45. כל זוג פעמיים: 45 · 2 = 90.
35. 2,340 ₪ — וֶתֶר: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = 15 מ׳. היקף: 9 + 12 + 15 = 36 מ׳. עלות לפני מע״מ: 36 × 50 = 1,800 ₪. כולל 30% מע״מ: 1,800 × 1.3 = 2,340 ₪.
36. 13 — סכום כל המספרים: 4×12=48. הרביעי: 48-(10+14+11)=48-35=13
37. 10 שעות — שלב 1 — הצב y = 500: 500 = 2000 − 150x שלב 2 — 150x = 1500 שלב 3 — x = 10 שעות.
38. 40 — S=בסיס·גובה=8·5=40.
39. 48 סמ — שטח ריבוע = צלע² → צלע = √144 = 12 סמ. היקף = 4 × 12 = 48 סמ.
40. 16 — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 8 = 0 → x = 4. חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −8. המשולש הוא ישר-זווית עם רגליים 4 ו-8. שטח = ½ × 4 × 8 = 16.