סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 70° — פנימית+חיצונית=180. 180-110=70.
2. ברי — דן בעמדה $1$ → גל ממש אחריו, כלומר גל בעמדה $2$. זה תקין כי גל אינו בעמדה $3$. נותרים עמדות $3, 4, 5$ לאבי, ברי והלל. התנאי אבי ממש לפני ברי מחייב שני מיקומים עוקבים: האפשרויות הן $(3,4)$ או $(4,5)$. אם אבי$(3)$, ברי$(4)$: הלל בעמדה $5$ — אך אז ברי אינו בעמדה $5$. אם אבי$(4)$, ברי$(5)$: הלל בעמדה $3$ — כל התנאים מתקיימים. הסידור: דן$(1)$, גל$(2)$, הלל$(3)$, אבי$(4)$, ברי$(5)$. בעמדה החמישית: **ברי**.
3. (2,0) ו-(0,−8) — שלב 1 — חיתוך עם ציר x (y=0): 4x−8=0 → 4x=8 → x=2 → נקודה (2,0). שלב 2 — חיתוך עם ציר y (x=0): y=4·0−8=−8 → נקודה (0,−8).
4. x=5 — x-2=3, ולכן x=5.
5. 30 — שלב 1 — נסמן את המספרים: x, x+2, x+4. שלב 2 — משוואה: 3x + 6 = 84, ולכן 3x = 78, ו-x = 26. שלב 3 — המספרים: 26, 28, 30. הגדול הוא 30.
6. 30 סמ"ר — שטח משולש = (בסיס×גובה)/2 = (10×6)/2 = 30
7. 20 — 25% = 1/4, ו-80/4 = 20
8. אי-אפשר לדעת — נבדוק את שלוש האפשרויות בשיטתיות — בכל מקרה נספור כמה משפטים אמת:\n\n**מקרה 1 — ערן הכי גבוה** (למשל $\text{ערן} > \text{דנה} > \text{יעל}$):\n- דנה: "ערן הכי גבוה" — **אמת**\n- ערן: "יעל > ערן" — שקר\n- יעל: "דנה > ערן" — שקר\n- סה"כ: בדיוק אמת אחת. **תקין.**\n\n**מקרה 2 — יעל הכי גבוהה** (למשל $\text{יעל} > \text{ערן} > \text{דנה}$):\n- דנה: "ערן הכי גבוה" — שקר\n- ערן: "יעל > ערן" — **אמת**\n- יעל: "דנה > ערן" — שקר (דנה < ערן)\n- סה"כ: בדיוק אמת אחת. **תקין.**\n\n**מקרה 3 — דנה הכי גבוהה** (למשל $\text{דנה} > \text{ערן} > \text{יעל}$):\n- דנה: "ערן הכי גבוה" — שקר\n- ערן: "יעל > ערן" — שקר\n- יעל: "דנה > ערן" — **אמת**\n- סה"כ: בדיוק אמת אחת. **תקין.**\n\nשלושת המקרים מקיימים בדיוק אמת אחת — אין מידע נוסף שיאפשר לפסול אף אחד מהם. לכן **אי-אפשר לדעת** מי קיבל הציון הגבוה ביותר.
9. 110 שניות — היקף גלגל: C = 2π × 14 = 2 × (22/7) × 14 = 2 × 22 × 2 = 88 סמ. מרחק ל-5 סיבובים: 5 × 88 = 440 סמ. זמן: 440 ÷ 4 = 110 שניות.
10. 85 — סה״כ 20 תלמידים. החציון הוא ממוצע האיברים ה-10 וה-11. תלמידים 1-4: ציון 70. תלמידים 5-10: ציון 80. תלמידים 11-15: ציון 90. האיבר ה-10 = 80, האיבר ה-11 = 90. חציון = (80+90)÷2 = 85.
11. 15 מ׳ — שלב 1 — זהה את המשולש ישר-הזווית: ניצבים 9 ו-12 מ׳, היתר הוא הכבל. שלב 2 — פיתגורס: כבל² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. שלב 3 — כבל = √225 = 15 מ׳.
12. 15 — קצב יחד: 1/6 עבודה לשעה. קצב א׳: 1/10 עבודה לשעה. קצב ב׳: 1/6 − 1/10 = 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15. פועל ב׳ לבדו: 15 שעות.
13. שטח = 16, השיפוע שלילי — חיתוך עם ציר x: 0 = −2x + 8 → x = 4. חיתוך עם ציר y: f(0) = 8. המשולש ישר-זווית עם רגליים 4 ו-8 → שטח = ½ × 4 × 8 = 16. שיפוע הפונקציה הוא המקדם של x: −2 (שלילי, יורד).
14. 75 — 0.15x = 45 → x = 45 ÷ 0.15 = 300. 25% מ-300 = 0.25 × 300 = 75.
15. −21 — סדר פעולות: −12 + (−9) = −21. (מספרים שליליים וסדר פעולות)
16. x=80, חציון 80 — סכום = 76×5 = 380. x = 380 − 70 − 80 − 90 − 60 = 80. סדר: 60,70,80,80,90 → חציון 80. (סטטיסטיקה ומשוואה)
17. 16 שנים — שלב 1 — נסמן את מספר השנים ב-x. בעוד x שנים אבי בן 12+x ואביו בן 40+x. שלב 2 — משוואה: 40 + x = 2(12 + x). שלב 3 — פתיחה: 40 + x = 24 + 2x, ולכן x = 16.
18. x=3 — 15=5x, ולכן x=3.
19. 50 סמ״ר — הצב קואורדינטות: A=(0,10), B=(10,10), C=(10,0), D=(0,0). E = נקודת אמצע BC = ((10+10)/2, (10+0)/2) = (10, 5). שטח משולש AED (A=(0,10), E=(10,5), D=(0,0)): S = ½ |x_A(y_E − y_D) + x_E(y_D − y_A) + x_D(y_A − y_E)| = ½ |0(5−0) + 10(0−10) + 0(10−5)| = ½ |0 − 100 + 0| = ½ × 100 = 50 סמ״ר.
20. 24 ס"מ — רוחב = 8 ÷ 2 = 4. היקף = 2 × (8 + 4) = 24 ס"מ. (משלב שברים וגיאומטריה)
21. −67 — (−3)² = 9. (−2)³ = −8. (−1)⁴ = 1. 9 × (−8) + 1 × 5 = −72 + 5 = −67.
22. 4 — פרופורציה הפוכה: 8·6=48. 48/12=4.
23. 12 — 12·12=144.
24. שיפוע 3, חיתוך ציר y: −1 — הפונקציה בצורה y = mx + b. m (שיפוע) = 3. b (חיתוך ציר y) = −1. בדיקה: כש-x = 0 → y = 3(0) − 1 = −1. ✓
25. 4 — |3-10|=7, |2-5|=3, ולכן 7-3=4.
26. 2 יחידות² — חיתוך f ו-g: −x + 3 = x + 1 → 2x = 2 → x = 1, y = 2. נקודה C(1, 2). חיתוך f עם ציר x (y = 0): −x + 3 = 0 → x = 3. נקודה A(3, 0). חיתוך g עם ציר x (y = 0): x + 1 = 0 → x = −1. נקודה B(−1, 0). בסיס AB = 3 − (−1) = 4 יחידות. גובה = y-קואורדינטת C = 2. שטח = ½ × 4 × 2 = 4 יחידות².
27. 2,808 ₪ — וֶתֶר: c² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 → c = 17 מ׳. היקף: 8 + 15 + 17 = 40 מ׳. עלות לפני מע״מ: 40 × 60 = 2,400 ₪. כולל 17% מע״מ: 2,400 × 1.17 = 2,808 ₪.
28. 120 ₪ — הגובה חוצה את הבסיס → חצי בסיס = 5 סמ. פיתגורס: h² + 5² = 13² → h² = 169 − 25 = 144 → h = 12 סמ. שטח = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר. עלות צביעה = 60 × 2 = 120 ₪.
29. 4x — (3+2-1)x = 4x
30. 95° — בטרפז, זוויות חד-צדדיות (co-interior angles) סוכמות 180°. B + C = 180° → 85° + C = 180° → C = 95°.
31. 6x+2 — 2x+6+4x-4 = 6x+2.
32. 25% — שלב 1: הפסד 10% → מחיר מכירה=450×0.9=405 ש״ח. שלב 2: ירידה=540−405=135 ש״ח. שלב 3: x=135÷540×100=25%.
33. 7 — כפל קודם: (-4)×(-3)=12. ואז 12+(-5)=7
34. 14 — לפחות אחת=12+8-4=16. אף אחת=30-16=14.
35. 10 מ׳ — שלב 1 — שטח משולש = (1/2) × ניצב₁ × ניצב₂: 24 = (1/2) × 8 × ניצב₂ 24 = 4 × ניצב₂ ניצב₂ = 6 מ׳. שלב 2 — משפט פיתגורס: יתר² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 יתר = √100 = 10 מ׳.
36. 8 — ממוצע 5 תלמידים: (12+15+18+11+14) ÷ 5 = 70 ÷ 5 = 14. סכום נדרש ל-6 תלמידים עם ממוצע 13: 13 × 6 = 78. ציון התלמיד השישי: 78 − 70 = 8.
37. y = 7 — שלב 1 — השווה: 2x + 3 = −x + 9 שלב 2 — 3x = 6 → x = 2. שלב 3 — הצב ב-f: y = 2·2 + 3 = 7.
38. 5 — 3^2+4^2=25, √25=5.
39. 126 סמ״ר — נסמן רוחב = w, אורך = w + 5. היקף: 2(w + w + 5) = 46 → 2(2w + 5) = 46 → 4w + 10 = 46 → 4w = 36 → w = 9 סמ. אורך = 9 + 5 = 14 סמ. שטח = 9 × 14 = 126 סמ״ר.
40. 1/4 — 0.25 = 25/100 = 1/4