סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 74.13 מ"ר — שלב 1 — שטח המלבן: 10 × 6 = 60 מ"ר. שלב 2 — רדיוס חצי העיגול: 6/2 = 3 מ׳. שלב 3 — שטח חצי עיגול: (1/2) × π × r² = 0.5 × 3.14 × 9 = 14.13 מ"ר. שלב 4 — סה"כ: 60 + 14.13 = 74.13 מ"ר.
2. 42 מ׳ — שלב 1 — אורך אלכסון: √(90² + 60²) = √(8100 + 3600) = √11700 ≈ 108.17 מ׳. שלב 2 — ריצה על הצלעות: 90 + 60 = 150 מ׳. שלב 3 — חיסכון ≈ 150 − 108 = 42 מ׳. (√11700 = √(900·13) = 30√13 ≈ 108.17)
3. 4x − 2 — שלב 1 — פתיחת סוגריים ראשונה: 6x − 12. שלב 2 — פתיחת סוגריים שנייה: −2x + 10. שלב 3 — כינוס: 6x − 2x = 4x, ו-(−12) + 10 = −2. התוצאה: 4x − 2.
4. 11 — שיפוע: m = (7 − 3) ÷ (4 − 2) = 4 ÷ 2 = 2. משוואת הישר: y = 2x + b. נציב (2, 3): 3 = 2×2 + b → b = 3 − 4 = −1. אז y = 2x − 1. f(6) = 2×6 − 1 = 12 − 1 = 11.
5. x ≤ 1 — 5 − 2(x + 1) ≥ 1 → 5 − 2x − 2 ≥ 1 → 3 − 2x ≥ 1 → −2x ≥ −2 → x ≤ 1 (חלוקה במינוס הופכת כיוון).
6. 8k — (2k + 1)² − (2k − 1)² = ((2k + 1) + (2k − 1))((2k + 1) − (2k − 1)) = (4k)(2) = 8k. תמיד מתחלק ב-8.
7. 6 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 3x − 6 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −6. נקודה B(0, −6). רגל₁ = 2 (לאורך ציר x), רגל₂ = 6 (לאורך ציר y). שטח = ½ × 2 × 6 = 6 יחידות².
8. 3 שעות ו-26 דקות — ברז A ממלא ⅙ לשעה; ברז B ממלא ⅛ לשעה. יחד: ⅙ + ⅛ = 4/24 + 3/24 = 7/24 לשעה. זמן מילוי: 1 ÷ (7/24) = 24/7 ≈ 3.43 שעות. 0.43 × 60 ≈ 26 דקות. סה״כ: כ-3 שעות ו-26 דקות.
9. 52% — שלב 1 — בנות בהתחלה: 60% מ-30 = 18 בנות. שלב 2 — לאחר שעברו 5: נותרו 13 בנות. שלב 3 — סה"כ תלמידים: 30 − 5 = 25. שלב 4 — אחוז בנות: 13/25 = 52%.
10. 28.8 מ׳ — שלב 1: נסמן רוחב=w, אורך=3w. היקף: 2(w+3w)=8w=48 ← w=6 מ׳. שלב 2: 60% מ-48 = 0.6×48 = 28.8 מ׳.
11. 51.84x — שלב 1 — היקף הגן הריבועי: 4x מטרים. שלב 2 — עלות הגידור: 12 · 4x = 48x ש"ח. שלב 3 — תוספת 8%: 48x · 1.08 = 51.84x ש"ח.
12. 36° — במשולש שווה-שוקיים שתי זוויות הבסיס שוות. זווית ראש = 180° − 72° − 72° = 36°.
13. 40° — שתי זוויות הבסיס שוות (70°+70°=140°). זווית הראש = 180-140 = 40°
14. 48 סמ — שטח ריבוע = צלע² → צלע = √144 = 12 סמ. היקף = 4 × 12 = 48 סמ.
15. 60 ₪ — שלב 1 — חישוב ההנחה: 25% × 80 = 20 ₪. שלב 2 — המחיר החדש: 80 − 20 = 60 ₪.
16. 1/6 — תוצאה אחת רצויה מתוך 6 אפשריות.
17. ₪100 — 8 חלקים = 160 ⇒ חלק = 20. רון: 5 × 20 = 100. (יחס וחלוקה)
18. 21 — 2/3 × 24 = 16. 16 + 5 = 21. (שברים וחיבור)
19. (2,0) ו-(0,−8) — שלב 1 — חיתוך עם ציר x (y=0): 4x−8=0 → 4x=8 → x=2 → נקודה (2,0). שלב 2 — חיתוך עם ציר y (x=0): y=4·0−8=−8 → נקודה (0,−8).
20. −8 — מציבים x = −3: (−3)² + 4×(−3) − 5 = 9 + (−12) − 5 = 9 − 12 − 5 = −8.
21. x=5 — 3x+3=2x+8, x=5.
22. 15 מ׳ — שלב 1 — זהה את המשולש ישר-הזווית: ניצבים 9 ו-12 מ׳, היתר הוא הכבל. שלב 2 — פיתגורס: כבל² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. שלב 3 — כבל = √225 = 15 מ׳.
23. חודש 16; 170 ₪ — 500 = 30x + 20 → 30x = 480 → x = 16. בחודש ה-5: y = 30×5 + 20 = 150 + 20 = 170 ₪.
24. 15 ₪ — שלב 1 — מחיר המבצע הוא 90 ₪ (לא צריך לחזור למחיר המקורי לחישוב הרווח). שלב 2 — אם 90 = עלות × 1.20, אזי עלות = 90 ÷ 1.20 = 75 ₪. שלב 3 — רווח: 90 − 75 = 15 ₪.
25. −67 — (−3)² = 9. (−2)³ = −8. (−1)⁴ = 1. 9 × (−8) + 1 × 5 = −72 + 5 = −67.
26. 7 — הצב x = 4 בפונקציה: f(4) = 3 × 4 − 5 = 12 − 5 = 7 ₪.
27. ירד ב-4% — נסמן את המחיר ההתחלתי 100. אחרי עלייה: 100 × 1.20 = 120. אחרי ירידה: 120 × 0.80 = 96. שינוי: 96 − 100 = −4, כלומר ירידה של 4%.
28. 3 — 6◆2 = (6+2)÷(6−2) = 8÷4 = 2. לאחר מכן: 2◆1 = (2+1)÷(2−1) = 3÷1 = 3.
29. 5 — שלב 1: חלק=27÷9=3. בנים=5×3=15. שלב 2: ⅓×15=5 בנים.
30. 11 — סדר פעולות: 7×2=14, ואז -3+14=11. (מספרים שליליים + סדר פעולות)
31. x=7 — חלק ב-3: x=21/3=7.
32. ₪100 — x × 0.8 × 1.25 = x × 1 = x. לכן x = 100. (אחוזים מורכבים)
33. 40 — S=בסיס·גובה=8·5=40.
34. 25 — סכום ראשון: 4×15=60. סכום חדש: 5×17=85. המספר: 85-60=25. (ממוצע + סכום + חיסור)
35. 11 — שיפוע: m = (7 − 1) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. משוואה: y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1. ב-x = 6: y = 2(6) − 1 = 12 − 1 = 11.
36. 18 — שלב א׳ — כמה עברו: ¾ × 120 = 90 תלמידים. שלב ב׳ — כמה קיבלו מעולה: ⅕ × 90 = 18 תלמידים.
37. 7 — שלב 1 — הכנסה: R(x) = 80x. שלב 2 — לא להפסיד: R(x) ≥ C(x) → 80x ≥ 50x + 200. שלב 3 — 30x ≥ 200 → x ≥ 200/30 = 6.̄6. שלב 4 — מינימום יחידות שלמות: x = 7.
38. 6 — P=2(a+b), 30=2(9+b), b=6.
39. 8 מ׳ — שטח משולש = ½ × בסיס × גובה. 60 = ½ × 15 × גובה 60 = 7.5 × גובה גובה = 60 ÷ 7.5 = 8 מ׳.
40. 13 — שיפוע: m = (9 − 1) ÷ (3 − (−1)) = 8 ÷ 4 = 2. חיתוך ציר y (b): משתמשים ב-(−1, 1): 1 = 2(−1) + b → b = 3. משוואה: y = 2x + 3. ב-x = 5: y = 2(5) + 3 = 13.