סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 40 — שלב 1 — סמן x = סה"כ תרגילים. שלב 2 — אחרי יום ראשון נותרו: x − 0.4x = 0.6x. שלב 3 — אחרי יום שני נותרו: 0.6x − 15 = 9. שלב 4 — פתור: 0.6x = 24, x = 40.
2. 5 — 1/x + 1/y = 1/4 ⟺ 4y + 4x = xy ⟺ (x − 4)(y − 4) = 16. מספר זוגות סדורים = מספר מחלקי 16 = 5: 1×16, 2×8, 4×4, 8×2, 16×1.
3. 0 — ישר מקביל לציר x - אין שינוי ב-y, השיפוע 0.
4. 5/7 — P(אף לא אחד אדום) = P(שניהם כחולים). שליפה ראשונה כחולה: 4/7. שליפה שנייה כחולה (נשארו 3 כחולים מתוך 6): 3/6 = 1/2. P(שניהם כחולים) = 4/7 × 1/2 = 4/14 = 2/7. P(לפחות אחד אדום) = 1 − 2/7 = 5/7.
5. 2 שעות — קצב A = 1/6 לשעה, קצב B = 1/3 לשעה. קצב משולב = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 לשעה. זמן = 1 ÷ (1/2) = 2 שעות.
6. 200 — האלכסון d במשולש ישר-זווית שניצביו צלעות הריבוע. d² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200. (האלכסון הוא קוטר המעגל; d = 10√2.)
7. 7 — שלב א׳: (−3) × (−5) = 15 שלב ב׳: (−2) × 4 = −8 שלב ג׳: 15 + (−8) + (−3) = 15 − 8 − 3 = 4? רגע — קריאה מחדש: (−5) × (−3) + (−2) × 4 = 15 − 8 = 7. ✓ (ה'חיברו (−3)' הוא חלק מהתיאור הנסיבתי, לא פעולה נפרדת) כלומר: (−5)×(−3) + (−2)×4 = 15 − 8 = 7.
8. 21 — 2/3 × 24 = 16. 16 + 5 = 21. (שברים וחיבור)
9. x=4, ערכו 12 — שלב 1: 6x−15+4x=25 ← 10x=40 ← x=4. שלב 2: 4²−4=16−4=12.
10. 16 — פתח סוגריים: 2x + 10 = 3x − 6 10 + 6 = 3x − 2x 16 = x. בדיקה: 2(16+5)=2×21=42, 3(16−2)=3×14=42 ✓
11. 4 — 2³ = 8, 3² = 9, 1² = 1. 8 + 9 − 1 = 16. √16 = 4.
12. ₪100 — x × 0.8 × 1.25 = x × 1 = x. לכן x = 100. (אחוזים מורכבים)
13. x=9, 2x=18 — 3x − 2x = 4 + 5 → x = 9. 2x = 18. (משוואות וכפל)
14. 27.5 ש"ח — מחברת=x, ספר=2x. 3(2x)+2x=110, 6x+2x=8x=110, x=13.75. ספר=27.5
15. 60 סמ״ר — שורטט גובה מהקודקוד אל הבסיס — הוא חוצה את הבסיס ל-5 ס״מ + 5 ס״מ. משפט פיתגורס על חצי המשולש: h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → h = 12 ס״מ. שטח = ½ × בסיס × גובה = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר.
16. 3 שנים — ריבית שנתית: 6% × 5,000 = 0.06 × 5,000 = 300 ₪ לשנה. נדרש רווח: 5,900 − 5,000 = 900 ₪. מספר שנים: 900 ÷ 300 = 3 שנים. בדיקה: 5,000 + 3 × 300 = 5,000 + 900 = 5,900 ₪ ✓
17. 80 קמ״ש — שלב 1 — המר זמן לשעות: 2 שעות 15 דקות = 2.25 שעות. שלב 2 — מהירות = מרחק ÷ זמן = 180 ÷ 2.25 = 80 קמ״ש.
18. 25% — מספר כדורים אדומים: 3. סך הכדורים: 12. הסתברות = 3/12 = 1/4 = 25%.
19. 2.5 — ממוצע: (68 + 72 + 80 + 85 + 85 + 90) ÷ 6 = 480 ÷ 6 = 80. סדר עולה: 68, 72, 80, 85, 85, 90. חציון = (80 + 85) ÷ 2 = 82.5. הפרש: 82.5 − 80 = 2.5.
20. 40° — חוצה מחלק לשתיים שוות: 80/2=40.
21. 81 ש״ח — שלב 1: אחרי הנחה 25%: 120×0.75=90 ש״ח. שלב 2: אחרי עוד 10%: 90×0.90=81 ש״ח.
22. נקודת אמצע: 1; מרחק: 8 — נקודת אמצע: (A+B)/2 = (−3+5)/2 = 2/2 = 1. מרחק: |B−A| = |5−(−3)| = |5+3| = 8.
23. 70° כל אחת — 180-40=140 לשתי זוויות הבסיס. כל אחת: 140/2=70. (סכום זוויות + משולש שווה-שוקיים + חלוקה)
24. 15 — שלב 1: 40% מ-30 = 0.4×30 = 12 בנות. שלב 2: 12+3 = 15 בנות.
25. 52 מ״ר — שטח המלבן: 8 × 5 = 40 מ״ר. שטח המשולש: ½ × 8 × 3 = 12 מ״ר. שטח כולל: 40 + 12 = 52 מ״ר.
26. 4 — פרופורציה הפוכה: 8·6=48. 48/12=4.
27. שטח = 84 סמ״ר; היקף = 42 ס״מ — שטח מקבילית = בסיס × גובה = 12 × 7 = 84 סמ״ר. היקף: 2 × (בסיס + צלע צדדית) = 2 × (12 + 9) = 2 × 21 = 42 ס״מ.
28. 672 ₪ — שטח בסיס: 8² = 64 סמ״ר. שטח 4 קירות: 4 × (8 × 5) = 4 × 40 = 160 סמ״ר. שטח כולל: 64 + 160 = 224 סמ״ר. עלות: 224 × 3 = 672 ₪.
29. 6 — לפי עקרון ההכלה וההדחה: |A ∪ B| = 18 + 14 − 8 = 24 תלמידים לומדים לפחות שפה אחת. לא לומדים אף שפה: 30 − 24 = 6.
30. 14 — לפחות אחת=12+8-4=16. אף אחת=30-16=14.
31. 8 — (-2)^4=16, (-2)^3=-8, ולכן 16-8=8.
32. x = 5 — שלב 1 — הפחת 7 משני האגפים: 3x = 15. שלב 2 — חלק ב-3: x = 5.
33. 936 ₪ — סופי = 800 × (1 + 0.17) = 800 × 1.17 = 936 ₪.
34. 2 שעות — מהירות התקרבות = 80+100 = 180 קמ"ש. זמן = 360/180 = 2 שעות. (תנועה + חיבור מהירויות + יחס)
35. x=5 — x-2=3, ולכן x=5.
36. 40 — הצלעות הניצבות: 8 (גובה) ו-8, 14 (בסיסים). הצלע הנטויה היא וֶתֶר במשולש ישר-זווית שניצביו הפרש הבסיסים (14−8=6) והגובה (8): צלע נטויה = √(6² + 8²) = √100 = 10. היקף = 8 + 14 + 8 + 10 = 40.
37. 3,000 ₪ — היקף: 2 × (15 + 10) = 50 מ׳. מספר גדרות: 50 ÷ 2 = 25 גדרות. עלות: 25 × 120 = 3,000 ₪.
38. 96 סמ״ר — ניצבים 3k ו-4k, יתר 5k (משולש פיתגוראי 3-4-5). 5k = 20 → k = 4. ניצבים: 12 ו-16 סמ. שטח = ½ × 12 × 16 = 96 סמ״ר.
39. 73 — (−3)⁴ = 81 (חזקה זוגית → חיובי). (−2)³ = −8 (חזקה אי-זוגית → שלילי). 81 + (−8) = 73.
40. 52% — שלב 1 — בנות בהתחלה: 60% מ-30 = 18 בנות. שלב 2 — לאחר שעברו 5: נותרו 13 בנות. שלב 3 — סה"כ תלמידים: 30 − 5 = 25. שלב 4 — אחוז בנות: 13/25 = 52%.