סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 7 — (4+6+8+10)/4 = 28/4 = 7.
2. 170 — 60% מ-350 = 0.6 × 350 = 210 תלמידים בחרו מדע. מאלה, 40 בחרו גם ספורט. מדע בלבד: 210 − 40 = 170 תלמידים.
3. x=9, 2x=18 — 3x − 2x = 4 + 5 → x = 9. 2x = 18. (משוואות וכפל)
4. מחיר מקורי 150 ₪, חסכת 90 ₪ — הנחה 40% → הלקוח שילם 60% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.60 × x = 60 → x = 60 ÷ 0.60 = 150 ₪. חיסכון: 150 − 60 = 90 ₪.
5. 85 — סה״כ 20 תלמידים. החציון הוא ממוצע האיברים ה-10 וה-11. תלמידים 1-4: ציון 70. תלמידים 5-10: ציון 80. תלמידים 11-15: ציון 90. האיבר ה-10 = 80, האיבר ה-11 = 90. חציון = (80+90)÷2 = 85.
6. 1 — כל מספר (שונה מאפס) בחזקת אפס שווה 1.
7. כן — 25+144=169=13^2, מקיים פיתגורס.
8. ירד ב-4% — נסמן את המחיר ההתחלתי 100. אחרי עלייה: 100 × 1.20 = 120. אחרי ירידה: 120 × 0.80 = 96. שינוי: 96 − 100 = −4, כלומר ירידה של 4%.
9. 6x-10 — 8x-4-2x-6 = 6x-10.
10. 2,340 ₪ — וֶתֶר: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = 15 מ׳. היקף: 9 + 12 + 15 = 36 מ׳. עלות לפני מע״מ: 36 × 50 = 1,800 ₪. כולל 30% מע״מ: 1,800 × 1.3 = 2,340 ₪.
11. 32 — שטח טרפז = (6+10)/2 × 4 = 8 × 4 = 32. (נוסחת טרפז + חיבור + כפל)
12. x=40, גדולה 75° — שלב 1: x+(2x−15)+75=180 ← 3x+60=180 ← 3x=120 ← x=40°. שלב 2: הזוויות: 40°, 65°, 75°. הגדולה=75°.
13. 1 — אם x = 1: (2)(3)(4)(5) = 120. ✓
14. x=3 — 0=4x-12, 4x=12, x=3.
15. 5,670 ₪ — לאחר ההעלאה הראשונה: 5000 × 1.08 = 5400. לאחר ההעלאה השנייה: 5400 × 1.05 = 5670 ₪.
16. 40 — ממוצע·כמות=סכום: 8·5=40.
17. 11 ס״מ — שלב 1 — שטח טרפז: ((9 + 13)/2) × 6 = 11 × 6 = 66 סמ״ר. שלב 2 — שטח המלבן זהה: 66 סמ״ר, גובהו 6 ס״מ. שלב 3 — אורך המלבן: 66 ÷ 6 = 11 ס״מ.
18. 60 סמ — שטח ריבוע = צלע² → צלע = √225 = 15 סמ. היקף = 4 × 15 = 60 סמ.
19. 70° — סכום זוויות = 180°. שתי זוויות הבסיס שוות: (180 − 40) ÷ 2 = 70°. (גיאומטריה וחלוקה)
20. 12x⁵ − 4x³ — 3x² · 4x³ = 12x⁵. (2x)⁵ = 32x⁵. 32x⁵ ÷ 8x² = 4x³. לכן: 12x⁵ − 4x³.
21. 60 — מקורי·1.5=90, ולכן 90/1.5=60.
22. x=8 — חסר 7: x=15-7=8.
23. 90 — סכום 5 ציונים: 5 × 78 = 390. סכום נדרש ל-6 ציונים (ממוצע 80): 6 × 80 = 480. ציון שישי: 480 − 390 = 90.
24. 1/3 — סיכוי לכחול ראשון: 6/10. נשארים 9 כדורים, מהם 5 כחולים. סיכוי לכחול שני: 5/9. סיכוי כולל: (6/10) × (5/9) = 30/90 = 1/3.
25. ממוצע עלה ב-10; חציון עלה ב-10; טווח לא השתנה — ציונים מקוריים: 60,70,80,90,100. ממוצע: 80. חציון: 80. טווח: 100−60=40. לאחר הוספת 10: 70,80,90,100,110. ממוצע: 90 (עלה ב-10). חציון: 90 (עלה ב-10). טווח: 110−70=40 (לא השתנה). הוספת קבוע לכל ערך מעלה את הממוצע והחציון באותה כמות אך אינה משנה את הטווח.
26. 4/5 — סה״כ כדורים: 5 + 3 + 2 = 10. כדורים שאינם ירוקים: 5 + 3 = 8. סיכוי: 8/10 = 4/5.
27. 50 סמ״ר — שלב 1: EB=10−6=4 ס״מ. שטח ריבוע=100 סמ״ר. שלב 2: שטח △ADE=½×AE×AD=½×6×10=30 סמ״ר. שטח △BCE=½×EB×BC=½×4×10=20 סמ״ר. שלב 3: שטח △CDE=100−30−20=50 סמ״ר.
28. 3x+12 — חוק הפילוג: 3·x + 3·4 = 3x+12.
29. 16 שנים — שלב 1 — נסמן את מספר השנים ב-x. בעוד x שנים אבי בן 12+x ואביו בן 40+x. שלב 2 — משוואה: 40 + x = 2(12 + x). שלב 3 — פתיחה: 40 + x = 24 + 2x, ולכן x = 16.
30. 0.7 — P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.5-0.1=0.7.
31. 160 ₪ — הנחה 25% → הלקוח שילם 75% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.75x = 120 → x = 120 ÷ 0.75 = 160 ₪.
32. x = −1.5 — חיתוך עם ציר x קורה כש-y = 0: 0 = 2x + 3 2x = −3 x = −1.5.
33. 3 — 6◆2 = (6+2)÷(6−2) = 8÷4 = 2. לאחר מכן: 2◆1 = (2+1)÷(2−1) = 3÷1 = 3.
34. x=7 — חלק ב-3: x=21/3=7.
35. 180 — 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5. LCM = 2² · 3² · 5 = 4 · 9 · 5 = 180.
36. 49 סמ"ר — שטח ריבוע = צלע² = 7² = 49
37. x=80, חציון 80 — סכום = 76×5 = 380. x = 380 − 70 − 80 − 90 − 60 = 80. סדר: 60,70,80,80,90 → חציון 80. (סטטיסטיקה ומשוואה)
38. 11 — שיפוע: m = (7 − 1) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. משוואה: y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1. ב-x = 6: y = 2(6) − 1 = 12 − 1 = 11.
39. 6 — ריבית שנתית: 8% × 2,500 = 200 ₪. ריבית נדרשת: 3,700 − 2,500 = 1,200 ₪. שנים: 1,200 ÷ 200 = 6 שנים.
40. 126 סמ״ר — נסמן רוחב = w, אורך = w + 5. היקף: 2(w + w + 5) = 46 → 2(2w + 5) = 46 → 4w + 10 = 46 → 4w = 36 → w = 9 סמ. אורך = 9 + 5 = 14 סמ. שטח = 9 × 14 = 126 סמ״ר.