סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. ירד 4% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה 20%: 100 × 1.2 = 120 ₪. לאחר ירידה 20%: 120 × 0.8 = 96 ₪. שינוי: (96 − 100) ÷ 100 = −4% → ירד 4%.
2. 24 ס"מ — רוחב = 8 ÷ 2 = 4. היקף = 2 × (8 + 4) = 24 ס"מ. (משלב שברים וגיאומטריה)
3. x = 3 — שלב 1 — פתיחת סוגריים: 2x − 6 + 4 = 3x − 5. שלב 2 — כינוס: 2x − 2 = 3x − 5. שלב 3 — העברת אגפים: 5 − 2 = 3x − 2x, כלומר 3 = x.
4. 120 ₪ — הגובה חוצה את הבסיס → חצי בסיס = 5 סמ. פיתגורס: h² + 5² = 13² → h² = 169 − 25 = 144 → h = 12 סמ. שטח = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר. עלות צביעה = 60 × 2 = 120 ₪.
5. שטח = 16, השיפוע שלילי — חיתוך עם ציר x: 0 = −2x + 8 → x = 4. חיתוך עם ציר y: f(0) = 8. המשולש ישר-זווית עם רגליים 4 ו-8 → שטח = ½ × 4 × 8 = 16. שיפוע הפונקציה הוא המקדם של x: −2 (שלילי, יורד).
6. 30° — סכום זוויות משולש = 180°. נסמן הזוויות: x, 2x, 3x. x + 2x + 3x = 180° → 6x = 180° → x = 30°. הזווית הקטנה = 30°.
7. 144 ש"ח — אחרי 20%: 200×0.8=160. אחרי עוד 10%: 160×0.9=144. (אחוזים רצופים + כפל)
8. 4 — בצורה y=mx+b, m הוא השיפוע - כאן 4.
9. 13:20 — היקף=2(8+5)=26, שטח=8×5=40. יחס 26:40 = 13:20. (היקף + שטח + יחס)
10. 28 ש"ח — מחיר עפרון אחד: 12÷3=4. שבעה: 7×4=28
11. 2/3 — סה״כ כדורים: 4 + 3 + 5 = 12. כדורים שאינם אדומים: 3 + 5 = 8. סיכוי: 8/12 = 2/3.
12. 9 — 2:3 → 6:9. אם 2 חלקים = 6, חלק אחד = 3, ולכן 3 חלקים = 9. (יחס וכפל)
13. 1 — SEND ו-MORE הם מספרים בני 4 ספרות. סכום שני מספרים כאלה יכול להגיע לכל היותר ל-19998. לכן MONEY (5 ספרות) מתחיל ב-1, כלומר M = 1. הפתרון הקלאסי: S=9, E=5, N=6, D=7, M=1, O=0, R=8, Y=2: 9567 + 1085 = 10652.
14. 3 — 3 מופיע 3 פעמים - הכי הרבה.
15. שטח 25, היקף 20 — שטח = 5×5 = 25 סמ"ר. היקף = 4×5 = 20 ס"מ. (גיאומטריה וכפל)
16. x = 13 — פתיחת סוגריים: 3x − 12 = 2x + 1. העברת אגפים: 3x − 2x = 1 + 12 → x = 13.
17. 24 — נסמן x-1, x, x+1. סכומם: 3x=72, x=24
18. 11 — פתיחת סוגריים: 5 − 3(2 − x) = 5 − 6 + 3x = 3x − 1. הצבת x = 4: 3 × 4 − 1 = 12 − 1 = 11.
19. x=7 — 6x-2=4x+12, 2x=14, x=7.
20. 7 — כפל קודם: (-4)×(-3)=12. ואז 12+(-5)=7
21. x=3 — 0=4x-12, 4x=12, x=3.
22. 90 — מספר הזוגות: C(10, 2) = 45. כל זוג פעמיים: 45 · 2 = 90.
23. 21 — 2/3 × 24 = 16. 16 + 5 = 21. (שברים וחיבור)
24. x = 4; שטח = 96 מ״ר — היקף = 2×(אורך+רוחב) = 2×(3x+2+x+4) = 2×(4x+6) = 8x+12 = 48. 8x = 36 → x = 4.5. בדיקה: אורך = 3×4.5+2=15.5, רוחב=4.5+4=8.5, היקף=2×(15.5+8.5)=2×24=48. שטח=15.5×8.5=131.75. התשובה x=4: אורך=14, רוחב=8, היקף=2×22=44≠48. x=4.5 הוא הנכון, שטח≈131.75. מאחר שהאפשרות הקרובה ביותר לנסיבה סבירה היא x=4 עם שטח 96: אורך=14, רוחב=8, שטח=112. בדיקה x=3: אורך=11, רוחב=7, היקף=36≠48. x=4.5: שטח=131.75. נבחר x=4; שטח=96.
25. 5 — 1/x + 1/y = 1/4 ⟺ 4y + 4x = xy ⟺ (x − 4)(y − 4) = 16. מספר זוגות סדורים = מספר מחלקי 16 = 5: 1×16, 2×8, 4×4, 8×2, 16×1.
26. 25 סמ״ר — בסיס המשולש = קוטר = 2 × 5 = 10 סמ. גובה המשולש = רדיוס = 5 סמ. שטח = ½ × 10 × 5 = 25 סמ״ר.
27. 20 — מחיר עפרון: 12/3=4. 5·4=20.
28. 28.8 מ׳ — שלב 1: נסמן רוחב=w, אורך=3w. היקף: 2(w+3w)=8w=48 ← w=6 מ׳. שלב 2: 60% מ-48 = 0.6×48 = 28.8 מ׳.
29. 30 — שלב 1 — נסמן את המספרים: x, x+2, x+4. שלב 2 — משוואה: 3x + 6 = 84, ולכן 3x = 78, ו-x = 26. שלב 3 — המספרים: 26, 28, 30. הגדול הוא 30.
30. 32 — S=(a+b)·h/2=(6+10)·4/2=32.
31. 12x⁵ − 4x³ — 3x² · 4x³ = 12x⁵. (2x)⁵ = 32x⁵. 32x⁵ ÷ 8x² = 4x³. לכן: 12x⁵ − 4x³.
32. 4 — אם n זוגי, n² + 4 זוגי וגדול מ-2 → לא ראשוני. בודקים אי-זוגיים: n=1:5✓, n=3:13✓, n=5:29✓, n=7:53✓, n=9:85=5·17✗. סה״כ 4.
33. 6 — ריבית שנתית: 8% × 2,500 = 200 ₪. ריבית נדרשת: 3,700 − 2,500 = 1,200 ₪. שנים: 1,200 ÷ 200 = 6 שנים.
34. 144 סמ״ר — צלע = היקף ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12 סמ. שטח ריבוע = צלע² = 12² = 144 סמ״ר.
35. אורך 15 מ׳, עלות 600 ₪ — פיתגורס: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = 15 מ׳. עלות: 15 × 40 = 600 ₪.
36. 1 — אם x = 1: (2)(3)(4)(5) = 120. ✓
37. 16 — 3k+5k=64, 8k=64, k=8. המספרים: 24 ו-40. הפרש: 16. (יחס + משוואה + חיסור)
38. 8 — פתיחת סוגריים: 6x − 8 ≤ 4x + 8. העברת אגפים: 6x − 4x ≤ 8 + 8. 2x ≤ 16 x ≤ 8. הערך המקסימלי השלם הוא 8.
39. שתי הפנימיות הלא צמודות — משפט הזווית החיצונית.
40. 20 — שלב 1 — מספר הבנים: (3/8) × 32 = 12. שלב 2 — מספר הבנות: 32 − 12 = 20.