סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 420 ₪ — שטח מקבילית = בסיס × גובה = 14 × 6 = 84 מ״ר. עלות דשא: 84 × 5 = 420 ₪.
2. 1/2 — 3 זוגיים (2,4,6) מתוך 6: 3/6=1/2.
3. צ.ז.צ — צ.ז.צ - צלע, זווית, צלע (זווית בין הצלעות).
4. 14 — שיפוע: m = (11 − 5) / (3 − 1) = 6/2 = 3. משוואת הישר: y = 3x + b. הצבה של (1, 5): 5 = 3(1) + b → b = 2. ולכן y = 3x + 2. עבור x = 4: y = 3(4) + 2 = 14.
5. −68 — (−2)³ = −8. 3² = 9. (−1)⁵ = −1. (−8) × 9 − (−1) × 4 = −72 − (−4) = −72 + 4 = −68.
6. 95 — סכום 4 ציונים: 4 × 85 = 340. סכום נדרש ל-5 ציונים עם ממוצע 87: 5 × 87 = 435. ציון חמישי: 435 − 340 = 95.
7. ₪100 — x × 0.8 × 1.25 = x × 1 = x. לכן x = 100. (אחוזים מורכבים)
8. 36 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 12 = 0 → x = 6. נקודה A(6, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −12. נקודה B(0, −12). רגל₁ = 6 (לאורך ציר x), רגל₂ = 12 (לאורך ציר y). שטח = ½ × 6 × 12 = 36 יחידות².
9. 5 — לומדים לפחות אחת: 18 + 15 − 8 = 25 (עיקרון ההכלה וההפרדה). לא לומדים: 30 − 25 = 5. (תורת הקבוצות וחיסור)
10. 4 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 4 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −4. נקודה B(0, −4). רגל₁ = 2, רגל₂ = 4. שטח = ½ × 2 × 4 = 4 יחידות².
11. 3°C — שלב 1: בצהריים: −3+11=8°C. שלב 2: בערב: 8−5=3°C.
12. 300 ק"מ — מהירות: 180÷3 = 60 קמ"ש. ב-5 שעות: 60×5 = 300 ק"מ. (יחס ומהירות)
13. זווית C = 110°, ואינו ישר-זווית — שלב א׳ — זווית C: סכום זוויות משולש = 180°. C = 180° − 40° − 30° = 110°. שלב ב׳ — האם המשולש עם 5, 12, 13 ישר-זווית? בדיקה: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓ כן — אבל שים לב: זה משולש שונה מ-ABC! המשולש ABC (עם 40°, 30°, 110°) אינו ישר-זווית.
14. 3 — עיקרון הכלה-הדחה: |כדורגל ∪ כדורסל| = 18 + 15 − 6 = 27. לא שיחקו: 30 − 27 = 3.
15. 25% — שלב 1: הפסד 10% → מחיר מכירה=450×0.9=405 ש״ח. שלב 2: ירידה=540−405=135 ש״ח. שלב 3: x=135÷540×100=25%.
16. 15 — שלב 1 — סך החלקים: 3 + 5 = 8. שלב 2 — ערך חלק יחיד: 40 ÷ 8 = 5. שלב 3 — מספר הבנים: 3 × 5 = 15.
17. 8 — נסמן גיל הבת כיום: x. גיל האמא: 3x. בעוד 8 שנים: 3x + 8 = 2(x + 8) → 3x + 8 = 2x + 16 → x = 8.
18. x=3 — 0=4x-12, 4x=12, x=3.
19. −1 — הצבה: 11 = 2a + 3 → a = 4. f(x) = 4x + 3. f(−1) = 4·(−1) + 3 = −1.
20. 48 סמ — שטח ריבוע = צלע² → צלע = √144 = 12 סמ. היקף = 4 × 12 = 48 סמ.
21. 2³ × 2⁴ = 128; (2²)³ = 64; הראשון גדול ב-64 — 2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷ = 128. (2²)³ = 2^(2×3) = 2⁶ = 64. 128 − 64 = 64. הביטוי הראשון גדול ב-64.
22. 120 — בוחרים בן אחד מ-12: 12 דרכים. בוחרים בת אחת מ-10: 10 דרכים. לפי כלל המכפלה: 12 × 10 = 120 ועדות.
23. 1/6 — מרחב המדגם: 36 צירופים. צירופים שסכומם 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 צירופים. P = 6/36 = 1/6.
24. 77 — סכום 6 הציונים = 6 × 80 = 480. ללא הציון 95: 480 − 95 = 385. ממוצע 5 הציונים = 385 ÷ 5 = 77.
25. a^6 — בסוגריים a^(4-1)=a^3, ובחזקת 2: a^(3·2)=a^6.
26. 10 — מיץ מקורי: 0.25 × 40 = 10 ליטר. נסמן כמות מוספת x. (10 + x) ÷ (40 + x) = 0.4 → 10 + x = 16 + 0.4x → 0.6x = 6 → x = 10.
27. x≥-2 — -2x≤4, חלק ב--2 והפוך: x≥-2.
28. (2,0) ו-(0,−8) — שלב 1 — חיתוך עם ציר x (y=0): 4x−8=0 → 4x=8 → x=2 → נקודה (2,0). שלב 2 — חיתוך עם ציר y (x=0): y=4·0−8=−8 → נקודה (0,−8).
29. 180° — סכום זוויות הפנים במשולש תמיד 180°.
30. 16 שנים — שלב 1 — נסמן את מספר השנים ב-x. בעוד x שנים אבי בן 12+x ואביו בן 40+x. שלב 2 — משוואה: 40 + x = 2(12 + x). שלב 3 — פתיחה: 40 + x = 24 + 2x, ולכן x = 16.
31. כן — 25+144=169=13^2, מקיים פיתגורס.
32. 3 — ספרות אחדות של 2^n מחזור 4: 2,4,8,6. 2026 mod 4 = 2 → 4. ספרות אחדות של 3^n מחזור 4: 3,9,7,1. 2026 mod 4 = 2 → 9. 4 + 9 = 13 → ספרת האחדות היא 3.
33. 4 — |3-10|=7, |2-5|=3, ולכן 7-3=4.
34. 2 — a★b = (a − b)². לכן 5★x = (5 − x)² = 9 → 5 − x = ±3. אם 5 − x = 3 אז x = 2; אם 5 − x = −3 אז x = 8. הערך הקטן יותר הוא x = 2.
35. 252 מ״ר, 84% — שלב 1: מגרש=20×15=300 מ״ר. פארק=8×6=48 מ״ר. שלב 2: מחוץ לפארק=300−48=252 מ״ר. שלב 3: 252÷300×100=84%.
36. x<7 — חסר 3: x<7.
37. x = −1.5 — חיתוך עם ציר x קורה כש-y = 0: 0 = 2x + 3 2x = −3 x = −1.5.
38. 75 מ״ר — שלב 1: שטח מקורי=3w². שטח חדש=(3w+2)(w+2)=3w²+8w+4. גידול=8w+4=44 ← 8w=40 ← w=5. שלב 2: שטח מקורי=3×5²=75 מ״ר. בדיקה: חדש=(17)(7)=119. 119−75=44 ✓.
39. x=5 — 5x-2x=12+3, 3x=15, x=5
40. 20 — 25% = 1/4, ו-80/4 = 20