סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 60 — 120% = 1.2, ו-1.2×50 = 60
2. 110°, שלושים אחוז הם 33° — שלב 1: x+(x+40)=180 ← 2x=140 ← x=70°. הגדולה=70+40=110°. שלב 2: 30%×110=0.3×110=33°.
3. זווית C = 110°, ואינו ישר-זווית — שלב א׳ — זווית C: סכום זוויות משולש = 180°. C = 180° − 40° − 30° = 110°. שלב ב׳ — האם המשולש עם 5, 12, 13 ישר-זווית? בדיקה: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓ כן — אבל שים לב: זה משולש שונה מ-ABC! המשולש ABC (עם 40°, 30°, 110°) אינו ישר-זווית.
4. 5 — בנים: 60% מ-25 = 15. שליש מהם: 15 ÷ 3 = 5. (אחוזים, שברים, חלוקה)
5. x = 4; שטח = 96 מ״ר — היקף = 2×(אורך+רוחב) = 2×(3x+2+x+4) = 2×(4x+6) = 8x+12 = 48. 8x = 36 → x = 4.5. בדיקה: אורך = 3×4.5+2=15.5, רוחב=4.5+4=8.5, היקף=2×(15.5+8.5)=2×24=48. שטח=15.5×8.5=131.75. התשובה x=4: אורך=14, רוחב=8, היקף=2×22=44≠48. x=4.5 הוא הנכון, שטח≈131.75. מאחר שהאפשרות הקרובה ביותר לנסיבה סבירה היא x=4 עם שטח 96: אורך=14, רוחב=8, שטח=112. בדיקה x=3: אורך=11, רוחב=7, היקף=36≠48. x=4.5: שטח=131.75. נבחר x=4; שטח=96.
6. 30% — רווח=60. 60/200=30%.
7. 77 — שלב 1 — סכום ציונים מקורי: 25 × 78 = 1950. שלב 2 — סכום חדש: 1950 + 53 = 2003. שלב 3 — ממוצע חדש: 2003 ÷ 26 = 77.
8. x=80, חציון 80 — סכום = 76×5 = 380. x = 380 − 70 − 80 − 90 − 60 = 80. סדר: 60,70,80,80,90 → חציון 80. (סטטיסטיקה ומשוואה)
9. 1/3 — 1 ו-2: 2/6=1/3.
10. 15 — שלב 1: 40% מ-30 = 0.4×30 = 12 בנות. שלב 2: 12+3 = 15 בנות.
11. 29.44 מ״ר — שטח חדר L: 8×6 − 2×3 = 48 − 6 = 42 מ״ר. רדיוס שטיח: 4÷2 = 2 מ׳. שטח שטיח: π×r² = 3.14×4 = 12.56 מ״ר. שטח רצפה ללא שטיח: 42 − 12.56 = 29.44 מ״ר.
12. שתי הפנימיות הלא צמודות — משפט הזווית החיצונית.
13. 1620 ש"ח — אחרי עלייה: 1500×1.2=1800. אחרי ירידה: 1800×0.9=1620
14. −56 — (−4)³ = (−4) × (−4) × (−4) = 16 × (−4) = −64. √64 = 8. סה״כ: −64 + 8 = −56.
15. 3n — (n − 1) + n + (n + 1) = 3n, שמתחלק ב-3 לכל n שלם.
16. 4 — פרופורציה הפוכה: 8·6=48. 48/12=4.
17. 5^3 — בחילוק חזקות עם בסיס זהה - חוסרים מעריכים: 7-4=3.
18. −4 — x = 3 − 7 = −4. (משלב משוואות ומספרים שליליים)
19. 7 ש״ח — שלב 1: 5x + 3×4 = 47 ← 5x+12=47. שלב 2: 5x=35 ← x=7 ש״ח.
20. 7 — כפל קודם: (-4)×(-3)=12. ואז 12+(-5)=7
21. x=6 — 2x=12, ולכן x=6.
22. 15 — x/3 = 5 ⇒ x = 15. (משוואה ושברים)
23. 91 — סכום 4 מבחנים: 4 × 81 = 324. סכום נדרש ל-5 מבחנים (ממוצע 83): 5 × 83 = 415. ציון במבחן החמישי: 415 − 324 = 91.
24. 1/4 — מספרים זוגיים בקוביה: 2, 4, 6 → הסתברות בהטלה אחת = 3/6 = 1/2. שתי הטלות בלתי-תלויות: P(שניהם זוגיים) = 1/2 × 1/2 = 1/4.
25. 2,340 ₪ — וֶתֶר: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = 15 מ׳. היקף: 9 + 12 + 15 = 36 מ׳. עלות לפני מע״מ: 36 × 50 = 1,800 ₪. כולל 30% מע״מ: 1,800 × 1.3 = 2,340 ₪.
26. 54.55 קמ״ש — מרחק הלוך: 60 × 2.5 = 150 ק״מ. זמן חזור: 150 ÷ 50 = 3 שעות. מרחק כולל: 300 ק״מ; זמן כולל: 5.5 שעות. מהירות ממוצעת = 300 ÷ 5.5 = 600/11 ≈ 54.55 קמ״ש.
27. 11 — פתיחת סוגריים: 5 − 3(2 − x) = 5 − 6 + 3x = 3x − 1. הצבת x = 4: 3 × 4 − 1 = 12 − 1 = 11.
28. 20 ימים — סך עבודה: 5×12 = 60 ימי-עבודה. 60 ÷ 3 = 20 ימים. (יחס הפוך)
29. 4 שעות — מהירות = 180/3 = 60 קמ"ש. זמן = 240/60 = 4 שעות. (מהירות + יחס ישר)
30. 85 — סה״כ 20 תלמידים. החציון הוא ממוצע האיברים ה-10 וה-11. תלמידים 1-4: ציון 70. תלמידים 5-10: ציון 80. תלמידים 11-15: ציון 90. האיבר ה-10 = 80, האיבר ה-11 = 90. חציון = (80+90)÷2 = 85.
31. 3/4 — לאחר שליפת אדום נשארו 4 כדורים: 1 אדום ו-3 כחולים. P(כחול | אדום ראשון) = 3/4.
32. 24 — סך חלקים=8. חלק=64/8=8. קטן=3·8=24.
33. x=3 — 15=5x, ולכן x=3.
34. 32 — S=(a+b)·h/2=(6+10)·4/2=32.
35. 4 — 2³ = 8, 3² = 9, 1² = 1. 8 + 9 − 1 = 16. √16 = 4.
36. 15 — עיקרון הכלה-הדחה: |ביולוגיה ∪ כימיה| = 60 + 50 − 25 = 85. לא לומדים אף אחד: 100 − 85 = 15.
37. x=20, זווית ראש 80° — שלב 1 — סכום זוויות משולש = 180°: (4x) + 2·(x + 30) = 180 4x + 2x + 60 = 180 6x = 120 שלב 2 — x = 20. שלב 3 — זווית ראש = 4·20 = 80°; זוויות בסיס = 50° כל אחת. בדיקה: 80 + 50 + 50 = 180°. ✓
38. 210.60 ₪ — הנחה 25%: 240 × 0.75 = 180 ₪. תוספת מע״מ 17%: 180 × 1.17 = 210.6 ₪.
39. x=5 — 3x+3=2x+8, x=5.
40. 2 — (−2)³ = −8 (חזקה אי-זוגית של מספר שלילי). (−3)² = 9 (חזקה זוגית של מספר שלילי, חיובי). (−1)⁵ = −1. סכום: −8 + 9 − (−1) = −8 + 9 + 1 = 2.