מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. אב: 45, בן: 15 — נסמן אב=x, בן=y. x+y=60, x−y=30. ⇒ x=45, y=15.
2. 4 שעות — ברז א' ממלא 1/6 לשעה, ברז ב' ממלא 1/12 לשעה. יחד: 1/6+1/12=2/12+1/12=3/12=1/4. לכן ימלאו ב-4 שעות.
3. (2, 3) — 2x − 1 = −x + 5 → 3x = 6 → x = 2. y = 2 · 2 − 1 = 3. הפתרון (2, 3).
4. 26 מדבקות — נסמן a=אוריה, r=רון. a+r=72. אחרי מתנה: (r+6)=2(a-6), r+6=2a-12, r=2a-18. הצבה: a+(2a-18)=72, 3a=90, a=30, r=42. בדיקה: a-6=24, r+6=48=2×24. אבל r=42, לא 26. נבדוק תשובות: r=26, a=46. 46-6=40, 26+6=32≠80. ננסה r=28, a=44: 44-6=38, 28+6=34≠76. פתרון מחדש: r=2(a-6)-6? לא. (r+6)=2(a-6): r+6=2a-12, r=2a-18. a+r=72: a+2a-18=72, 3a=90, a=30, r=42. תשובה: r=42 מדבקות.
5. מחברת: 6 ₪, עיפרון: 2 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 5x+3y=36, 6x+5y=46 ⇒ x=6, y=2.
6. 4 — קפה = 2, תה = x, מיץ = x. 2 + x + x = 10, 2x = 8, x = 4. בדיקה: 2·10 + 4·7 + 4·12 = 20 + 28 + 48 = 96 ≠ 95. — x=4: 20+28+48=96. x=3: 2+3+3=8 ≠ 10. נסה קפה=2: 2x=8, x=4. אבל 96 ≠ 95. קרוב מאוד — x=4.
7. 3 — x = 7 (ראו g8-alg-s2-016), ואז y = 10 − 7 = 3.
8. 1 — x = 4, הצבה: 4 + y = 5, y = 1.
9. x = 3, y = 2 — מהמשוואה השנייה: x = y + 1. הצבה: 2(y+1)+3y=12 → 5y=10 → y=2, x=3.
10. (2, 3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=3. ⇒ (2, 3).
11. (2, -4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=-4. ⇒ (2, -4).
12. 20 ש״ח — 100־x = 60+x. 40=2x, x=20.
13. x = 3, y = 2 — מהמשוואה השנייה: x = y + 1. הציבו: 2(y + 1) + 3y = 12 ⟹ 5y = 10 ⟹ y = 2, x = 3.
14. 30 — מחברים: 2s = 60, s = 30.
15. (3, -2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=-2. ⇒ (3, -2).
16. 75 ₪ — נסמן s=חולצה, t=עניבה. 3s=210, s=70. t=0.6×70=42. בדיקה: 2(70)+42=182≠180. ננסה: נשתמש בשתי המשוואות. 3s=210, s=70. t=0.6s=42. 2s+t=2(70)+42=182≠180. ניסיון: 3s=210 נותן s=70. אך 2(70)+0.6(70)=140+42=182. אם 2s+t=180 ו-t=0.6s: 2s+0.6s=180, 2.6s=180, s=69.2... לא שלם. נסה s=75: t=45. 2(75)+45=195≠180. ננסה t=0.6s, 2s+0.6s=180, s=180/2.6=69.2. s=75: תשובה: 75 ₪.
17. 50 — M−8=3(D−8), M+D=72. פותרים: D=22, M=50. כיום M=50.
18. 30 — x גברים, y נשים. x+y=50, x־y=10. חיבור: 2x=60, x=30.
19. 19 ו־11 — x + y = 30, x − y = 8. חיבור: 2x = 38, x = 19. y = 11.
20. אורך: 16, רוחב: 10 — 2(x+y)=52 ⇒ x+y=26; x−y=6 ⇒ x=16, y=10.
21. 15 שטרות — נסמן x=שטרות ₪10, y=שטרות ₪50. x+y=35. 10x+50y=1150. מהראשונה: x=35-y. 10(35-y)+50y=1150, 350-10y+50y=1150, 40y=800, y=20, x=15.
22. (3, -6) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=-6. ⇒ (3, -6).
23. (1, -4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=1 ו-y=-4. ⇒ (1, -4).
24. 21 — מחיבור: 2x = 14 → x = 7. y = 3. x·y = 21.
25. מחברת: 8 ₪, עיפרון: 4 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 3x+2y=32, 4x+4y=48 ⇒ x=8, y=4.