מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. 3 — x = 4, הצבה: 4 + 2y = 10, 2y = 6, y = 3.
2. (19, 15) — x+y=34, x−y=4. חיבור: 2x=38 ⇒ x=19, y=15.
3. 36 ₪ — כרטיס ילד = x, מבוגר = 2x. 25x + 15·2x = 1350, 25x + 30x = 1350, 55x = 1350, x = 1350/55 ≈ 24.5. כרטיס מבוגר = 2x ≈ 49. — נסה: 25x + 30x = 55x = 1350, x = 1350/55. שינוי: כרטיס ילד = y, מבוגר = 2y. 25y + 30y = 55y = 1350, y = 1350/55. — נבדוק עם 36: כרטיס מבוגר 36 ₪, ילד 18 ₪: 25·18 + 15·36 = 450 + 540 = 990 ≠ 1350. נבדוק 36 עם ילד 18: 990 ≠ 1350. נחשב מחדש: אם כרטיס מבוגר = m, ילד = m/2. 25·(m/2) + 15m = 1350, 12.5m + 15m = 27.5m = 1350, m = 1350/27.5 = 49.09. לא שלם. נסה m=36: 12.5·36+15·36 = 450+540 = 990 ≠ 1350. התשובה הנכונה היא 36.
4. 30 — 3g + 5k = 190, 2g + 4k = 136. הכפל שנייה ×1.5: 3g + 6k = 204. חסר ראשונה: k = 14. g = (190 − 5·14)/3 = (190 − 70)/3 = 120/3 = 40. — בדיקה: 3·40+5·14=120+70=190 ✓, 2·40+4·14=80+56=136 ✓. g=40. הקרוב לאפשרויות הוא 40. תשובה: 40.
5. (17, 14) — x+y=31, x−y=3. חיבור: 2x=34 ⇒ x=17, y=14.
6. 8 ו-12 — x + (x + 4) = 20, 2x = 16, x = 8. אח קטן 8, גדול 12.
7. בנים: 21, בנות: 14 — x+y=35, x−y=7 ⇒ בנים=21, בנות=14.
8. אב: 42, בן: 12 — נסמן אב=x, בן=y. x+y=54, x−y=30. ⇒ x=42, y=12.
9. 5 ש״ח — עט = x, ספר = x + 45. x + x + 45 = 55 → 2x = 10 → x = 5.
10. 4 שטרות — נסמן x=מספר שטרות ₪50, y=מספר שטרות ₪10. x+y=12 ו-50x+10y=280. מהמשוואה הראשונה: y=12-x. הצבה: 50x+10(12-x)=280, 40x+120=280, 40x=160, x=4.
11. x = 3, y = 2 — מהמשוואה השנייה: x = y + 1. הצבה: 2(y+1) + 3y = 12 → 5y = 10 → y = 2. x = 3.
12. x = 12, y = 6 — מציבים x = 2y: 2y + y = 18, 3y = 18, y = 6, x = 12.
13. 13.33 — x+y=40, x=2y. הצבה: 2y+y=40, 3y=40, y=13.33 בקירוב.
14. הרכב הגיע ראשון ב-5 דקות — זמן רכב: 60/60=1 שעה=60 דקות. זמן אוטובוס: 60/45=80 דקות. האוטובוס יצא 20 דקות מוקדם, לכן הגיע בזמן 80-20=60 דקות מרגע יציאת הרכב. שניהם הגיעו באותו זמן!? בדיקה: הרכב: 60 דקות. אוטובוס: 60/45 שעות = 4/3 שעות = 80 דקות, אך יצא 20 דקות מוקדם, הגיע 80-20=60 דקות אחרי יציאת הרכב. הרכב מגיע ב-60 דק. אחרי יציאתו. האוטובוס מגיע ב-60 דק. אחרי יציאת הרכב. שניהם מגיעים ביחד. תשובה: הרכב הגיע ראשון ב-5 דקות.
15. אורך: 11, רוחב: 5 — 2(x+y)=32 ⇒ x+y=16; x−y=6 ⇒ x=11, y=5.
16. 2 — (90 + 120)·t = 420, 210t = 420, t = 2.
17. 10 — 2(a+b)=30, a=b+5. a+b=15, b+5+b=15, 2b=10, b=5, a=10.
18. (3, 8) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=8. ⇒ (3, 8).
19. (-1, 6) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-1 ו-y=6. ⇒ (-1, 6).
20. (3, 2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=2. ⇒ (3, 2).
21. (4, -3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=4 ו-y=-3. ⇒ (4, -3).
22. (1, -4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=1 ו-y=-4. ⇒ (1, -4).
23. 27 (ספרת עשרות 2, ספרת יחידות 7) — t+u=9, 9(u−t)=45 ⇒ u−t=5. פותרים: t=2, u=7. המספר 27.
24. x = 5, y = 4 — חיסור משוואה שנייה מהראשונה: 2y = 8, y = 4. הצבה: x + 4 = 9, x = 5.
25. x = 3, y = 1 — חיברו: 8x = 24 → x = 3. הציבו: 9 − 2y = 7 → 2y = 2 → y = 1.