מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. (20, 1) — x+y=21, x−y=19. חיבור: 2x=40 ⇒ x=20, y=1.
2. (-2, -3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-2 ו-y=-3. ⇒ (-2, -3).
3. 40 — x+y=50, x־y=30. חיבור: 2x=80, x=40 (גיל האב), y=10 (גיל הבן).
4. x = 6, y = 4 — חיבור המשוואות: 2x = 12, ולכן x = 6. הצבה: y = 10 − 6 = 4.
5. 13/5 — מהמשוואה השנייה: x = y + 1. מציבים: 3(y+1) + 2y = 16 → 5y + 3 = 16 → 5y = 13 → y = 13/5.
6. (19, 7) — x+y=26, x−y=12. חיבור: 2x=38 ⇒ x=19, y=7.
7. אב: 35, בן: 5 — נסמן אב=x, בן=y. x+y=40, x−y=30. ⇒ x=35, y=5.
8. ראשון: 2ש, שני: 3ש — 120x + 80(5−x) = 480, 120x + 400 − 80x = 480, 40x = 80, x = 2.
9. 5 ו־9 — x + y = 14, xy = 45. y = 14 − x ⇒ x(14 − x) = 45 ⇒ x² − 14x + 45 = 0 ⇒ (x − 5)(x − 9) = 0.
10. 15 — x+y=25, y=10, לכן x=25־10=15.
11. 4 שעות — נסמן t=שעות שנסע הנהג השני. הנהג הראשון נסע t+1 שעות. מרחקים שווים: 80(t+1)=100t, 80t+80=100t, 80=20t, t=4.
12. 3 — x = 4, הצבה: 4 + y = 7, y = 3.
13. (2, -4) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=-4. ⇒ (2, -4).
14. (2, 3) או (3, 2) — מ־x + y = 5: y = 5 − x. הצבה: x² + (5 − x)² = 13 → 2x² − 10x + 25 = 13 → x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0. ולכן (2, 3) או (3, 2).
15. 12 — x + y = 30, x − y = 6. חיסור: 2y = 24, לכן y = 12.
16. 20 — b + (b + 5) = 35, 2b = 30, b = 15 בנים, בנות = 20.
17. 17 — נסמן בנות x ובנים y. x+y=30, x־y=4. חיבור: 2x=34, x=17.
18. 14 — x + y = 33, x − y = 5. חיסור: 2y = 28, y = 14.
19. 8 ש״ח — סכום המחירים: 5+3=8 ש״ח.
20. אב: 32, בן: 7 — נסמן אב=x, בן=y. x+y=39, x−y=25. ⇒ x=32, y=7.
21. 2.4 שעות — ביחד: 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 בריכה לשעה. זמן = 12/5 = 2.4 שעות.
22. 4 ש״ח — 2 + 2·1 = 2+2 = 4 ש״ח.
23. שעה אחת — המרחק הכולל 90 ק"מ. ביחד מכסות 50+40=90 קמ"ש. הזמן: 90/90=1 שעה.
24. בנים: 23, בנות: 13 — x+y=36, x−y=10 ⇒ בנים=23, בנות=13.
25. (3, 2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=3 ו-y=2. ⇒ (3, 2).