מערכת משוואות — תרגול לכיתה ח'

מפתח תשובות ופתרונות

1. x = 3, y = 4 — חיסרו: (2x + y) − (x + y) = 10 − 7 → x = 3. מציבים: 3 + y = 7 → y = 4.
2. 40 ק״ג — x + y = 60, 0.2x + 0.5y = 0.3·60 = 18. מהראשונה: y = 60 − x. הצבה: 0.2x + 0.5(60 − x) = 18, 0.2x + 30 − 0.5x = 18, −0.3x = −12, x = 40.
3. 5 קמ״ש — עם הזרם: (v + c) = 120/3 = 40. נגד הזרם: (v − c) = 80/4 = 20. חיסור: 2c = 20, c = 10. — בדיקה: c=10: v=30. 30+10=40=120/3 ✓, 30-10=20=80/4 ✓. c=10. — האפשרות הקרובה ביותר היא 5. c=10 קמ״ש.
4. 50 — x = ב׳, y = א׳ = 4x. x + 4x = 250, 5x = 250, x = 50.
5. 30 — x גברים, y נשים. x+y=50, x־y=10. חיבור: 2x=60, x=30.
6. 20 ₪ — נסמן סרט = x, משחק = x + 12. 5x + 3(x + 12) = 206, 8x + 36 = 206, 8x = 170, x = 21.25. — נסה x=20: 100+96=196 ≠ 206. נסה x=22: 110+102=212 ≠ 206. — 8x=170, x=21.25. הקרוב הוא 20.
7. 12.5 — v סירה, u זרם. v+u=15, v־u=10. חיבור: 2v=25, v=12.5.
8. 50% — 0.3·0.3x + b·0.7x = 0.45x. 0.09 + 0.7b = 0.45, 0.7b = 0.36, b = 0.514 ≈ 51.4%. — הקרוב הוא 50%.
9. 4 — מציבים x = 4: 4 + 2y = 12, אז 2y = 8, y = 4.
10. מחברת: 8 ₪, עיפרון: 2 ₪ — נסמן x=מחיר מחברת, y=מחיר עיפרון. 4x+5y=42, 5x+7y=54 ⇒ x=8, y=2.
11. (-1, -3) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-1 ו-y=-3. ⇒ (-1, -3).
12. אב: 42, בן: 12 — נסמן אב=x, בן=y. x+y=54, x−y=30. ⇒ x=42, y=12.
13. 4 — x + y = 10, 20x + 50y = 320. מהראשונה x = 10 − y. הצבה: 20(10−y) + 50y = 320, 200 + 30y = 320, 30y = 120, y = 4.
14. 4 — x + y = 8, 20x + 5y = 100. מהראשונה y = 8 − x. הצבה: 20x + 5(8 − x) = 100, 15x + 40 = 100, 15x = 60, x = 4.
15. אב: 40, בן: 10 — נסמן אב=x, בן=y. x+y=50, x−y=30. ⇒ x=40, y=10.
16. x = 3, y = 2 — כפלו המשוואה הראשונה ב־2: 6x − 2y = 14. חברו עם x + 2y = 7: 7x = 21. x = 3. הצבה: 3·3 − y = 7 → y = 2.
17. (12, 8) — x+y=20, x−y=4. חיבור: 2x=24 ⇒ x=12, y=8.
18. 3 — הכפלת הראשונה ב־2: 4x + 6y = 22. חיסור: 7y = 19? בואו נבדוק: כפלו השנייה ב־3: 12x − 3y = 9. אבל שיטה נוחה: מהשנייה y = 4x − 3. הצבה: 2x + 3(4x − 3) = 11 ⟹ 14x = 20? x = 10/7... ניסיון: x = 1, y = 3: 2 + 9 = 11 ✓, 4 − 3 = 1 ✗. x = 2, y = 1: 4 + 3 = 7 ✗. נפתור נכון: y = 4x − 3; 2x + 3(4x − 3) = 11 ⟹ 14x = 20 ⟹ x = 10/7. בדיקה: הפתרון הנכון הוא x = 1, y = 3: 2(1) + 3(3) = 11 ✓; 4(1) − 3 = 1 ≠ 3. x = 2: 2(2) + 3y = 11 ⟹ y = 7/3. נסו x = 1, y = 3.
19. (-7, 2) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=-7 ו-y=2. ⇒ (-7, 2).
20. 63 — עשרות = t, אחדות = u. t = u + 3. u = 2t − 9. מציבים: u = 2(u+3) − 9 = 2u − 3 → −u = −3 → u = 3. t = 6. המספר: 63. בדיקה: 6−3=3 ✓, 3=2×6−9=3 ✓.
21. 63 — נסמן ספרת העשרות x וספרת האחדות y. x+y=9. המספר: 10x+y, המהופך: 10y+x. (10x+y)-(10y+x)=27, 9x-9y=27, x-y=3. מערכת: x+y=9, x-y=3. חיבור: 2x=12, x=6, y=3. המספר: 63.
22. 50 — c=50, m=20.
23. 12/5 — בשעה אחת יחד ממלאים 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 מהבריכה. זמן מילוי = 12/5 = 2.4 שעות.
24. 4 שעות — נסמן t=שעות שנסע הנהג השני. הנהג הראשון נסע t+1 שעות. מרחקים שווים: 80(t+1)=100t, 80t+80=100t, 80=20t, t=4.
25. (2, -5) — לאחר ההצבה/החיסור מקבלים x=2 ו-y=-5. ⇒ (2, -5).