חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $10$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $1000^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{1000}=10$.
2. $3$ — $3x-12=3(x-4)$, מצמצמים: $3$.
3. $\sqrt[4]{x^{3}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{x^{3}}$.
4. $p^{8}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $p^{2}\cdot p^{6}=p^{2+6}=p^{8}$.
5. $x=4,\ x=3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-7^2-4\cdot1\cdot(12)=1$. $x=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=3$.
6. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{5}$: $\dfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
7. $a^{6}$ — מחברים מעריכים בכפל ומחסרים בחילוק: $5+3-2=6$, לכן התוצאה $a^{6}$.
8. $x=3$ — כפל צולב: $2x=x+3\Rightarrow x=3$ ($x\neq-3$).
9. $x=2,\ y=3$ — חיבור: $6x=12\Rightarrow x=2$, $y=3$.
10. $x=6,\ x=-10$ — $|x+2|=8$ נותן שני מקרים: $x+2=8$ או $x+2=-8$, ומכאן $x=6$ או $x=-10$.
11. $6.7\times 10^{5}$ — בכתיב מדעי כותבים מספר בין 1 ל-10 כפול חזקת 10: $670000=6.7\times 10^{5}$.
12. $(x-1)(x+1)$ — הפרש ריבועים: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
13. $x=2,\ y=3$ — השוואה: $x+1=2x-1\Rightarrow x=2$, $y=3$.
14. $a^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{5}\cdot a^{2}=a^{5+2}=a^{7}$.
15. $2\sqrt{2}$ — מפרקים את 8 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$.
16. $\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$ — מכפילים מונה ומכנה ב-$\sqrt{7}$: $\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}=\dfrac{1\sqrt{7}}{7}$.
17. $k^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(k^{2}\right)^{6}=k^{2\cdot 6}=k^{12}$.
18. $x=6$ — $x+2=2(x-2)=2x-4\Rightarrow x=6$ ($x\neq2$).
19. $3$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $243^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{243}=3$.
20. $x^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{6}\right)^{2}=x^{6\cdot 2}=x^{12}$.
21. $x=4,\ y=2$ — הצבה: $2y+2y=8\Rightarrow y=2$, $x=4$.
22. $6$ — כפל שורשים: $\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{6\cdot 6}=\sqrt{36}=6$.
23. $x^{5}2^{5}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(x2\right)^{5}=x^{5}2^{5}$.
24. $x=4,\ x=-7$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-28)=121$. $x=\frac{-3\pm\sqrt{121}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=-7$.
25. $9a^{2}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(3a\right)^{2}=9a^{2}$.
26. $x>5$ או $x<1$ — $x-3>2$ או $x-3<-2$ ולכן $x>5$ או $x<1$.
27. $6$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{72}{2}}=\sqrt{36}=6$.
28. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $16^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{16}=2$.
29. $10$ — לפי וייטה, מכפלת השורשים $=\frac{c}{a}=10$.
30. $5$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.