חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x^{12}$ — בהעלאת חזקה בחזקה כופלים את המעריכים: $\left(x^{3}\right)^{4}=x^{3\cdot 4}=x^{12}$.
2. $(x-3)^2$ — $x^2-6x+9=(x-3)^2$.
3. $x=8$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $256=2^{8}$. לכן $2^{x}=2^{8}$ ומכאן $x=8$.
4. $1$ — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת 0 שווה ל-1.
5. $x=4,\ x=3$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-7^2-4\cdot1\cdot(12)=1$. $x=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=3$.
6. $\dfrac{1}{16}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $4^{-2}=\dfrac{1}{4^{2}}=\dfrac{1}{16}$.
7. $m^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $m^{1}\cdot m^{6}=m^{1+6}=m^{7}$.
8. $5$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5$.
9. $a^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{5}\cdot a^{2}=a^{5+2}=a^{7}$.
10. $x=3,\ x=-5$ — מפרקים לגורמים: $(x-(3))(x-(-5))=0$, ולכן $x=3$ או $x=-5$.
11. $x=1$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 2: $2=2^{1}$. לכן $2^{x}=2^{1}$ ומכאן $x=1$.
12. $7$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{98}{2}}=\sqrt{49}=7$.
13. $x=2,\ x=-5$ — מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים אפס: $x=2$ או $x=-5$.
14. $m<9$ — $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m<9$.
15. $x^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{6}\div x^{2}=x^{6-2}=x^{4}$.
16. $x=4,\ x=-7$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-28)=121$. $x=\frac{-3\pm\sqrt{121}}{2\cdot1}$, כלומר $x=4$ או $x=-7$.
17. $x=6$ — כופלים פנים-חוץ: $4(x-3)=2x\Rightarrow4x-12=2x\Rightarrow2x=12\Rightarrow x=6$.
18. $x=8,\ x=-8$ — $|x|=8\Rightarrow x=8$ או $x=-8$.
19. $x=3$ — כופלים ב-$(x-2)$, $x\neq2$: $x=3(x-2)=3x-6\Rightarrow-2x=-6\Rightarrow x=3$.
20. $x=3,\ x=-4$ — $12=x^2+x\Rightarrow x^2+x-12=0\Rightarrow(x+4)(x-3)=0$, $x\neq0$: $x=3$ או $x=-4$.
21. $3$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{45}{5}}=\sqrt{9}=3$.
22. $x=3$ — כופלים ב-$x$, $x\neq0$: $6=2x\Rightarrow x=3$.
23. אין פתרונות ממשיים — $\Delta=1^2-4\cdot1\cdot(3)=-11$. $\Delta<0$ ולכן אין פתרונות ממשיים.
24. $x=1,\ x=6$ — מפרקים לגורמים: $(x-(1))(x-(6))=0$, ולכן $x=1$ או $x=6$.
25. $x=3$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $27=3^{3}$. לכן $3^{x}=3^{3}$ ומכאן $x=3$.
26. $x=3,\ x=-7$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=4^2-4\cdot1\cdot(-21)=100$. $x=\frac{-4\pm\sqrt{100}}{2\cdot1}$, כלומר $x=3$ או $x=-7$.
27. $x=2,\ x=-2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(2))(x-(-2))=0$, ולכן $x=2$ או $x=-2$.
28. $-3\leq x\leq 3$ — $x^2-9\leq0\Rightarrow(x-3)(x+3)\leq0\Rightarrow-3\leq x\leq3$.
29. $x\geq 2$ או $x\leq -2$ — $|x|\geq2$ פירושו $x\geq2$ או $x\leq-2$.
30. $10000000$ — כתיב מדעי: $1\times 10^{7}=10000000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).