חזקות ושורשים — תרגול אלגברה לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\dfrac{1}{2}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-1}=\dfrac{1}{2^{1}}=\dfrac{1}{2}$.
2. $10\sqrt{2}$ — מפרקים את 200 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$.
3. $(x-6)^2$ — $x^2-12x+36=(x-6)^2$.
4. $x^2-8x+16$ — $(x-4)^2=x^2-2\cdot4x+16=x^2-8x+16$.
5. $x=3,\ x=-2$ — כופלים ב-$2x$: $x^2-6=x\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow(x-3)(x+2)=0$, $x\neq0$.
6. $t^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $t^{3}\cdot t^{4}=t^{3+4}=t^{7}$.
7. $8x^{3}$ — חזקה של מכפלה: מעלים כל גורם בחזקה. $\left(2x\right)^{3}=8x^{3}$.
8. $m=6 \text{ או } m=-6$ — $\Delta=m^2-36=0\Rightarrow m=\pm6$.
9. $x=1$ — כותבים את אגף ימין כחזקה של 3: $3=3^{1}$. לכן $3^{x}=3^{1}$ ומכאן $x=1$.
10. $\sqrt[3]{x^{2}}$ — מעריך רציונלי: המכנה הוא דרגת השורש והמונה הוא חזקת הבסיס. לכן $x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^{2}}$.
11. $x=1$ — כופלים ב-$(x+1)$, $x\neq-1$: $10=5(x+1)\Rightarrow x+1=2\Rightarrow x=1$.
12. $\dfrac{1}{a^{4}}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $a^{-4}=\dfrac{1}{a^{4}}$.
13. $(x+5)^2$ — זהו ריבוע: $x^2+10x+25=(x+5)^2$.
14. $700000$ — כתיב מדעי: $7\times 10^{5}=700000$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
15. $\dfrac{1}{8}$ — מעריך שלילי הופך לשבר: $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}$.
16. $x=5,\ x=2$ — מפרקים לגורמים: $(x-(5))(x-(2))=0$, ולכן $x=5$ או $x=2$.
17. $x\leq 3$ — $2x-2\geq3x-5\Rightarrow -x\geq-3\Rightarrow x\leq3$.
18. $x=3,\ y=-3$ — חיבור: $2x=6\Rightarrow x=3$, $y=-3$.
19. $x=1,\ x=\frac{-1}{3}$ — דיסקרימיננטה: $\Delta=-2^2-4\cdot3\cdot(-1)=16$. $x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2\cdot3}$, כלומר $x=1$ או $x=\frac{-1}{3}$.
20. $600$ — כתיב מדעי: $6\times 10^{2}=600$ (מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה לפי חזקת 10).
21. $7$ — חילוק שורשים: $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{98}{2}}=\sqrt{49}=7$.
22. $4x^2+4x+1$ — $(2x+1)^2=4x^2+2\cdot2x+1=4x^2+4x+1$.
23. $x+3$ — $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, מצמצמים: $x+3$.
24. $2$ — מעריך רציונלי הוא שורש: $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$.
25. $2\sqrt{7}$ — מפרקים את 28 למכפלה של ריבוע מלא: $\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt{7}$.
26. $4$ — כפל שורשים: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4$.
27. $x=6$ — $x+2=2(x-2)=2x-4\Rightarrow x=6$ ($x\neq2$).
28. $x=3,\ x=-4$ — $12=x^2+x\Rightarrow x^2+x-12=0\Rightarrow(x+4)(x-3)=0$, $x\neq0$: $x=3$ או $x=-4$.
29. $a^{7}$ — לפי חוק כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחברים את המעריכים: $a^{5}\cdot a^{2}=a^{5+2}=a^{7}$.
30. $x^{4}$ — לפי חוק חילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים את המעריכים: $x^{10}\div x^{6}=x^{10-6}=x^{4}$.